Плоскость α проходит через точки E и F, лежащие на боковых сторонах AD и BС трапеции ABCD соответственно. Докажите, что
прямая AB параллельна плоскости α, если E и F – середины AD и
BC. Выполните рисунок по условию задачи.

Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой AB, пересекает сторону AC этого треугольника в точке A1, а сторону BC в точке B1.
Найдите длину отрезка A1B1, если AB = 15 см, а AA1: AC = 2: 3.
-------
Плоскость треугольника АВС пересекается с плоскостью. параллельной по условию стороне АВ.
 Если прямая параллельна плоскости и содержится в другой плоскости, пересекающей первую, то она параллельна линии пересечения этих плоскостей.
Отрезок А1В1- часть линии пересечения данной плоскости и плоскости треугольника АВС. Следовательно, А1В1 || АВ.
АС и ВС - секущие при параллельных прямых, отсюда
треугольники А1СВ1 и АСВ - подобны. 
Из их подобия следует отношение 
А1В1:АВ=2:3
А1В1:15=2:3
3 А1В1=30
А1В1=10  см

3.Теорема о вписанном угле: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен половине дуги, на которую он опирается, либо дополняет половину центрального угла до 180°

4.Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.

Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.

Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой

Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии

Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).

5.Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

6. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

8. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

9.В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

11.   если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

 Из второго признака равенства треугольников следует, что:
  если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

 если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

13. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисой его углов

15. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (или другого описываемого окружностью многоугольника) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.