6. Решите задачу векторным методом. Выполните рисунок. Дан треугольник MNK. Известно, что MN = 2 см, NK MNK = 45o . Найдите длину медианы ND.

​

а) В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей - точка пересечения медиан (биссектрис, высот, так как они совпадают).

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. При этом больший отрезок высоты является радиусом описанной окружности, а меньший - вписанной.

r = h/3

R = 2h/3

б) Формулы, связывающие сторону правильного многоугольника с радиусами вписанной и описанной окружностей:

a(n) = 2r · tg(180°/n)

a(n) = 2R · sin(180°/n)

где a(n) - сторона правильного многоугольника, n - количество его сторон.

n = 5

r = a / (2tg36°)

R = a / (2sin36°)

в) n = 6

r = a / (2tg30°) = a√3/2

R = a / (2 sin30°) = a /(2 · 1/2) = a

Тетраэдр - правильная пирамида, все грани которой равны, в том числе и основание. Объем пирамиды равен: (S*H)/3, то есть площади основания, а в нашем случае - одной грани, умноженной на высоту, опущенную к ней с вершины. Рассмотрим треугольник АВС: АК = КС = АС/2 = 5/2. В правильном треугольнике все медианы являются биссектрисами и высотами, и между собой они равны. Найдем медиану ВК: из теоремы Пифагора: BK^2 = BC^2 - KC^2, BK^2 = 25 - 25/4 = (100 - 25)/4 = 75/4, BK = пять корней из трех поделить на два. Нужно найти катет прямоугольного треугольника ОС; для этого вспомним, что медианы пересекаются в одной точке, которая делит их в соотношении 2:1, начиная от вершины. ВО = 2ОК. ВК = ВО + ОК, ВК = ОК + 2ОК, 3ОК = пять корней из трех поделить на два. ОК = пять корней из трех поделить на шесть. ВО = пять корней из трей поделить на три.
BO = CO = AO. Из прямоугольного треугольника КОС: из теоремы Пифагора: KO^2 = KC^2 - OC^2, KO^2 = 25 - (25*3)/9, KO^2 = 50/3, KO = пять корней из шести поделить на три.
Найдем площадь основания:  S = (BK* AC)/2 = 25 корней из 3 поделить на 4.
Объем пирамиды равен: 125 корней из двух разделить на 12.