Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника лежит в плоскости альфа, а катет наклонён к этой плоскости под углом 30 градусов. найдите угол между плоскостью альфа и плоскостью треугольника.
Проведем CO⊥α, тогда ОА - проекция катета СА на плоскость α, ∠САО = 30°.
Пусть Н - середина АВ. Тогда СН - медиана и высота равнобедренного треугольника, т.е. СН⊥АВ, ОН - проекция СН на плоскость α, значит и ОН⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах. Значит ∠СНО - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника. ∠СНО - искомый.
Обозначим катеты а. АВ = а√2 как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника. СН = АВ/2 = а√2/2 так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
ΔСАО: ∠СОА = 90°, СО = АС/2 = а/2 как катет, лежащий напротив угла в 30°.
