1. Существует ли треугольник, два угла которого равны соответственно 130° и 70°? нет, сумма всех углов треугольника 180 градусов
2. Существует ли треугольник с двумя тупыми углами? нет, по той же причине
3. Закончите предложение: «Сумма углов любого треугольника равна 180 градусов.
4. Один из углов треугольника – прямой. Каковы два остальные? острые
5. Существует ли равнобедренный треугольник, один из углов которого равен 100°? да, остальные углы по 40 градусов
6. Один из углов равнобедренного треугольника равен 120°. Чему равны остальные его углы? по 30 градусов
7. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 50°. Чему равен третий угол? 180-50-50=100 градусов
9. В треугольнике АВС угол В в два раза больше угла С, угол А в три раза больше угла С. Чему равны углы А, В и С?
∠С=х, ∠В=2х, ∠С=3х; х+2х+3х=180; 6х=180; х=30
∠С=30°, ∠В=60°, ∠В=90°
10. В треугольнике АВС уголА на 40° меньше, чем угол В, а угол С на 40° больше, чем угол В. Чему равны углы А, В и С?
∠В=х, ∠А=х-40, ∠С=40+х; х+х-40+40+х=180; 3х=180; х=60
∠С=100°, ∠В=60°, ∠А=20°
11. В треугольнике АВС угол А равен 40°, угол С равен 60°. Какой это треугольник: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный?
180-40-60=80°. треугольник остроугольный
12. В треугольнике МКОугол М равен 30°, угол К равен 60°. Какой это треугольник: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный?
180-30-60=90°, прямоугольный
1.
S = S(сектора) - SΔ.
S(сектора) = (π·R²·60)/360 = π·R²/6.
SΔ = (1/2)·R·R·sin(60°) = (1/2)·R²·(√3)/2 = R²·(√3)/4.
R = 12.
S(сектора) = π·12²/6 = π·(6·2)²/6 = π·6·4 = 24π
SΔ = 12²·(√3)/4 = (3·4)²·(√3)/4 = 9·4·(√3) = 36·(√3).
S = 24π - 36·(√3).
2.
S = S(сектора) - SΔ,
Косинус центрального угла найдем по т. косинусов.
12² = 20² + 20² - 2·20·20·cos(α) = 2·20²·(1 - cos(α)),
144 = 2·400·(1 - cos(α)),
1 - cos(a) = 144/800 = 3²·4²/(16·50) = 9/50 = 18/100 = 0,18
cos(a) = 1 - 0,18 = 0,82,
теперь найдем сам центральный угол:
a = arccos(0,82)
(в радианах).
S(сектора) = π·R²·arccos(0,82)/(2π) = (R²/2)·arccos(0,82).
R = 20,
S(сектора) = (20²/2)·arccos(0,82) = (400/2)·arccos(0,82) = 200·arccos(0,82).
Найдем синус центрального угла
sin(a) = √(1 - cos²(a)) = √(1 - 0,82²) = √(1 - 0,6724) = √0,3276 = √(3276/10000) =
= √(819/2500) = 3·√(91)/50
SΔ = (1/2)·20·20·sin(a) = 200·3·√(91)/50 = 4·3·√(91) = 12·√91.
S = S(сектора) - SΔ = 200·arccos(0,82) - 12·√91.
3.
S = S(сектора) - SΔ
R = 10
S(сектора) = π·R²·60/360 = π·R²/6 = π·10²/6 = 100π/6 = 50π/3.
SΔ = (1/2)·R·R·sin(60°) = (1/2)·100·(√3)/2 = 25·√3,
S = (50π/3) - 25·√3,
5.
S = π·R₁² - π·R₂² = π·3,5² - π·1,5² = π·( (7/2)² - (3/2)²) = π·( (49 - 9)/4) = π·40/4 = 10π
6.
S = S(круга) - S(квадрата).
Найдем сторону квадрата по т. Пифагора.
R² + R² = a²,
R = 10,
a² = 2·R²
S(квадрата) = a² = 2R² = 2·10² = 200.
S(круга) = π·R² = π·10² = 100π,
S = 100π - 200.
7. Площадь сектора
S = π·R²·(360 - 60)/360 = π·R²·(300/360) = π·R²·5/6,
R = 8
S = π·8²·5/6 = π·64·5/6 = π·32·5/3 = 160π/3.
