Хорда АВ, диаметр АД, О -центр, проводим радиус ОВ, треугольник АВО раносторонний, АВ=ОА=ОВ=радиусу, все углы в треугольнике =60
№2
дуга ВС = дуга АВ-дуга АС=125-52 =73, угол ВАС=1/2 дуги ВС=73/2=36 град 30 мин
хорда АВ ближе к центру
№3
проводим радиус ОВ перпендикулярный АВ в точку В, ОВ=15, АО=17, треугольник АОВ прямоугольный, АВ= корень(АО в квадрате - ОВ в квадрате) = корень(289-225)=8
№4
дугаАВ+дугаВС+дугаАС =360, 7+5+6=360, 18 частей =360, 1 часть =360/18=20
дугаАВ=7 х 20 =140, угол АОВ центральный = дугеАВ =140
дуга ВС =5 х 20 =100, угол ВАС вписанный=1/2 дуги ВС = 100/2=50
дуга АС = 6 х 20 =120, угол АВС вписанный = 1/2 дуги АС= 120/2=60
№5
АВ - диаметр = 10+10=20, СД хорда , СМ=4, МД=9
АМ х МВ = СМ х МД, АМ = а, МВ = 20-а
а х (20-а) = 4 х 9, 20а - а в квадрате=36, а в квадрате - 20а + 36 =0
а= (20+-корень(400 - (4 х 36))/2
а =(20+- 16)/2
а1 = 18
а2=2
а = АМ =2
МВ=20-2=18
№6
треугольник АВС, АВ=ВС=15, АС = 18
площадь = корень (p x (p-a) x (p-b) x (p-c)). где р - полупериметр, остальное стороны
полупериметр = (15+15+18)/2=24
площадь = корень (24 х (24-15) х (24-15) х (24-18) = корень 11664 = 108
радиус вписанной окружности = площадь / полупериметр = 108/24=4,5
радиус описанной окружности= произведение сторон / 4 х площадь =
=15 х 15 х 18 / 4 х 108 = 4050/432=9,375
а)Так как AB//CD, то дуга АС=дуге ВD => угол FBA=углу DCE, как опирающиеся на равные дуги одной окружности.
Аналогично доказываем, что угол BFD = углу CEA.
Точки пересечения хорд назовем М и N (см. рисунок).
Треугольники FBM и ECN подобны по двум углам. А так как по условию FM//EN и BM//CN, то FB//CE.
б)Так как в ромбе все стороны равны и АН = половине АВ, АН= половине AD. Получается, что в прямоугольном треугольнике ADH катет равен половине гипотенузы => <ADH = 30 градусов., тогда <DAH=60 градусов. Противоположные углы ромба равны, значит угол С=60 градусов. Угол D + угол B=180 градусов, значит <D = 120 гр. И <B=120гр.
Периметр. Рассмотрим тр. DAB, он равнобедренный и угол А=60 гр., значит углы D и В равны по 60 гр., т. е. треугольник DAB равносторонний и его стороны равны по 3,5см.
Таким образом DA=AB=BC=CD=3,5см. Значит периметр равен 3,5*4=14
ответ: 14см.
в)См. рисунок.
ОА перпендикулярен АМ и ЕВ перпендикулярен АМ , значит ОА//ЕВ. Отсюда следует, что Треугольники МАО и МВЕ перпендикулярные и они подобны по двум углам (углы АОМ и ВЕМ равны как соответственные). Из подобия следует, что АМ:ВМ= АО: ВЕ=3:1 =>AB:ВМ=2:1. Обозначим АВ=2х, ВМ=1х.
Из треугольника ЕВМ по теореме Пифагора найдем ЕМ. ЕМ²=ЕВ²+ВМ² => EM²=1²+x²=1+x².
Таким образом ОМ= 3+1+ЕМ= 4+кор.из(1+х²)
С другой стороны по теореме Пифагора ОМ²=9+9х² => OM= кор.из(9+9х²)
Составим уравнение : кор.из(9+9х²)=4+кор.из(1+х²) Решая это уравнение, получаем, что х=кор.из3
Рассмотрим теперь треугольник ВЕМ. Так как он прямоугольный, то tg угла ВМЕ равен отношению противолежащего катета к прилежащему, т. е. ВЕ:ВМ=1:кор.из3 => угол ВМЕ=30градусов.
Угол ВМЕ = углу КМЕ (Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.)=> угол ВМК=60градусов.
г)Обозначим гипотенузу треугольника с. cos a=b/c =>c=b/cos a
Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности, значит радиус этой окружности равен с/2=b/(2cos a).
Длина окружности равна 2πR= 2*π*b/(2cos a)=(π*b)/cos a
