1.Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Пусть ABCD – данный параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма.
AOD = COB по первому признаку равенства треугольников (OD = OB, AO = OC по условию теоремы, ∠ AOD = ∠ COB, как вертикальные углы). Следовательно, OBC = ODA. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказываем, что AB и DC тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана.
2.Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.
Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC.
Тогда Δ ADB = Δ CBD по первому признаку равенства треугольников (ADB = CBD, как внутренние накрест лежащие между прямыми AD и BC и секущей DB, AD=BC по условию, DB – общая).
Следовательно, ∠ ABD = ∠ CDB, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AB и CD и секущей DB. По теореме признаке параллельности прямых AB и CD параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.
3.Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.
Пусть дан четырехугольник ABCD. DAB = BCD и ABC = CDA.
Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º,
DAB + BCD + ABC + CDA.= 360 . Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то DAB + ABC = 180 º и BCD + CDA = 180 º.
Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 , поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.
если AC = DC, то треуг.ACD равнобедренный => CF - биссектриса, медиана и высота => AF=FD (CF - медиана)
т.к. угол FCD = 30, то в прямоугольном треуг CFD гипотенуза CD равна 2*FD (была какаято теорема про 30 градусов в прямоугольном треугольнике) => FD = 4/2 = 2
помним, что CF - медиана и понимаем, что AF = FD и теперь AF=FD = 2
треугольники ACF подобен треуг BFC (прости, забыл как называется теорема) => угол BFA = BCF = 30, вспоминаем про 30 градусов и пишем, что AB = AF / 2 = 2/2 = 1
P.S. Я чото ступил, можно было с самого начала рассматривать треугольник AFC и тогда написать чуть поменьше. Впринцепе у меня правильно, если сможешь - переделай
