Точка P лежит на стороне BC треугольни ка ABC, точка 0 — середина отрезка АР и ОС LAP.
Точка Tлежит на стороне АВ так, что луч PA
является биссектрисой угла TPC. Докажите, что
ТР || АС.​

Объяснение:

Смотри прикреплённый рисунок.

Пусть а = 8 см - ребро тетраэдра

a) В основании АВС проведём высоту АЕ ⊥ ВС.    АЕ = 0,5а√3;

Опустим высоту SO на плоскость АВС.

Угол между прямой SA и плоскостью АВС есть угол SAO

b) В основании АВС проведём высоту BK ⊥ AС.    BK = 0,5а√3;

Опустим высоту SO на плоскость АВС.

Проведём в грани SAC апофему SK = 0,5а√3

Угол между плоскостями SAC и АВС есть угол SKO между апофемой SK и высотой основания ВК как угол между двумя перпендикулярами, восставленными из точки К к линии пересечения АС плоскостей  SAC и АВС

Поскольку тетраэдр правильный, то углы между  любой боковой плоскостью и плоскостью основания  равны между собой. И косинус между плоскостью SBC и плоскостью АВС равен 1/3.

Свойство пересекающихся хорд: 
Произведения длин отрезков, на которые разбита точкой пересечения каждая из  хорд, равны. 
Пусть это будут хорды АВ и СМ, Е -точка их пересечения.  
АЕ=ВЕ, СЕ=3, МЕ=12 
Сделаем рисунок. Соединим А и М, С и В.  
Рассмотрим получившиеся треугольники АЕМ и ВЕС 
Они имеют два угла, опирающихся на одну и ту же дугу, следовательно, эти углы равны. Третий их угол также равен. ⇒
Треугольники АЕМ и ВЕС подобны  
Из подобия следует отношение: 
АЕ:СЕ=МЕ:ВЕ 
АЕ*ВЕ=СЕ*МЕ 
Так как АЕ=ВЕ, то 
АЕ²=3*12=36 
АЕ=√36=6, 
АВ=2 АЕ=12 см