Решите СОЧ по геометрии 2 вариант.

1. Отрезки АЕ и ВК пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОК и ВОЕ.

2. Две стороны равнобедренного треугольника равны 11 см и 13 см. Каким может быть периметр этого треугольника?

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 4,9 м. Найдите стороны этого треугольника, если его основание больще боковой стороны на 1 м.

4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса ВМ. На продолжении биссектрисы за точку М взята точка Д. Докажите, что ∆ АМД = ∆ СМД.

5. В равнобедренном треугольнике ВСК с основанием СК проведена высота ВМ. Угол МВК равен 300. Сторону КВ продлите за точку В на продолжении отметьте точку Д, а сторону СВ продлите за точку В и на продолжении отметьте точку А. Найдите градусную меру угла АВД.

Внимание! Чертежи обязательны к каждой задаче!

Проведем СЕ параллельно диагонали ВD. Треугольник АСЕ - прямоугольный, так как его стороны связаны соотношением 5:12:13, то есть с²=a²+b².
Высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного
треугольника соотношением:
1/a²+1/b²=1/h² или h²=a²*b²/(a²+b²) или h²=a²*b²/с².
Или h=a*b/c.
В нашем случае h=10*24/26=120/13.
Тогда площадь трапеции равна S=(4+22)*120/2*13=120cм².
ответ:S=120cм².

P.S. Заметим, что площадь трапеции S=(BC+AD)*h/2 равна площади прямоугольного  треугольника АСЕ, так как высота у них одинакова, а основание (гипотенуза) треугольника равна сумме оснований трапеции:
Sace=AE*h/2=(BC+AD)*h/2. Таким образом, можно было не находить высоту трапеции, а площадь ее найти как половину произведения диагоналей трапеции (катетов треугольника), то есть
S=AC*BD/2=10*24/2=120см².
Или найти площадь треугольника АСЕ (равную площади трапеции ABCD)  по формуле Герона (для любителей корней):
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=√(30*20*6*4)=120см².

Значит так:
Надо знать что сторона лежащая против большого угла, самая большая сторона в треугольнике ( при условии что он не равностороний, в нашем случае не так) .
Запишем неравенство:
- всё это конечно углы.
Понятно что если ∠P>∠N и ∠O>∠P то ∠O>∠N
Отсюда следует, что самая длинная сторона, находится против большого ∠O (сторона NP)
∠P>∠N
Значит против ∠Р лежит сторона, большая от стороны против угла N
И меньшая стороне NP. 
В итоге получаем:
NP>ON>OP
Данное утверждение правильно, так как углы не равны, а значит и стороны не равны.