17.2. Докажите, что в кубе ABCDA1B1C1D1 перпендикулярны плоскос. ти: а) ABC и BDD1 ; б) АСС1 и BDD​1

1) в ΔАСН:

СН=0,5 (катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы)

По теореме Пифагора:

АН² = АС² - СН² = 1 - 0,25 = 0,75

АН = √0,75 = 0,5 √3

в ΔАВС:

cos A = AC / AB

AB = 1 ÷ (√3 / 2) = 2√3 / 3

BH = AB - AH = 2√3 / 3 - 0,5√3 = (4√3 - 3√3) / 6 = √3 / 6

ответ: √3 / 6

2) АВ = 2 ВС = 2 (катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы)

∠В = 180° - ∠С - ∠А = 60°

cos B = BH / BC

BH = 1/2 × 1 = 1/2

AH = AB - BH = 2 - 1/2 = 1 1/2 = 1,5

ответ: 1,5

3) sin A = CH / AC

CH = sin A × AC = 3/5 × 4 = 12/5 = 2,4

ответ: 2,4

Обозначим ключевые точки как показано на рисунке.
Проведем продолжение высоты OE к стороне AB и обозначим точку пересечения как F (как показано на рисунке).
Площадь ромба (как и параллелограмма) равна произведению высоты на сторону ромба.
Высота ромба = EF (т.к. EF перпендикулярна CD). Рассмотрим треугольники DOE и BOF.
DO=OB (по второму свойству ромба)
/DOE=/BOF (т.к. они вертикальные)
/EDO=/FBO (т.к. это внутренние накрест-лежащие)
Следовательно, треугольники DOE и BOF равны по второму признаку.
Тогда OE=OF => EF=2*OE=2*1=2
Sромба=EF*CD=2*9=18
ответ: Sромба=18