3. Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из них проведены пересекающиеся в точке М отрезки АА1 и ВВ1, причем А1 и В1 принадлежат второй плоскости. Найдите АВ, если В1М = 20 см, ВМ = 10 см, А1В1 = 26см.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.

Трапеция описанная, следовательно её биссектрисы пересекаются в одной точке (центр вписанной окружности). Трапеция вписанная, следовательно равнобедренная, углы при основании равны. Значит равны их половины, биссектрисы углов при основании образуют равнобедренный треугольник. Перпендикуляр из центра вписанной окружности к основанию (радиус) является медианой.

Биссектрисы внутренних углов при параллельных пересекаются под прямым углом. Радиус в точку касания на боковой стороне - высота из прямого угла, она равна среднему пропорциональному проекций катетов. Отрезки касательных из одной точки равны, проекции катетов равны половинам оснований. Радиус равен половине высоты. Таким образом h=√(ab)