Прямі а і б перетинаються прямою с . Знайти :

В трапеции ABCD известны длины оснований AD= 24 см, BC = 8 см и диагоналей AC = 13 см, BD = 5√17 см. Вычислите площадь трапеции


Проведём две высоты ВЕ и СК на AD, тогда ВС = ЕК = 8 см.
Пусть АЕ = х → ED = AD – AE = 24 – x


Рассмотрим ∆ АСК (угол АКС = 90°):
По теореме Пифагора:
АС² = АК² + СК²
СК² = 13² – ( х + 8 )² = 169 – ( х² + 16х + 64 ) = 169 – х² – 16х – 64 = – х² + 105 – 16х

Рассмотрим ∆ BDE (угол BED = 90°):
По теореме Пифагора:
BD² = BE² + ED²
BE² = ( 5√17 )² – ( 24 – x )² = 25·17 – ( 576 – 48x + x² ) = 425 – 576 + 48x – x² = – x² – 151 + 48x

Высоты трапеции равны: ВЕ = СК →
ВЕ² = СК²
– х² + 105 – 16х = – x² – 151 + 48x
48х + 16х = 151 + 105
64х = 256
х = 4 см
Значит, АЕ = 4 см , ЕК = 8 см, КD = 12 см.
Также можно заметить, что АК = KD = 12 см. Значит, ∆ ACD – равнобедренный, где AC = CD = 13 см, CK – высота, медиана, биссектриса.

Рассмотрим ∆ АСК (угол АКС = 90°):
По теореме Пифагора:
СК² = 13² – 12² = 169 – 144 = 25
Значит, СК = ВЕ = 5 см.


Площадь трапеции равна:

S abcd = ( 1/2 ) · ( BC + AD ) · CK = ( 1/2 ) · ( 8 + 24 ) · 5 = ( 1/2 ) · 32 · 5 = 16 · 5 = 80 см²

ОТВЕТ: S abcd = 80 см².

А мы пойдём другим

А) Рассмотрим рисунок 2 :

Пусть угол ВСО = а

Обозначим точку K, как точку пересечения прямой СО с окружностью, описанной около ∆ АВС, точка О – центр вписанной окружности ∆ АВС, тогда →

KB = KO = KA = 5 см - радиусы описанной окружности около треугольника АВО – по теореме о трилистнике или лемме о трезубце, или лемме Мансиона.

Рассмотрим ∆ ВКС:
По теореме синусов:

2R = BK / sin ВСО
2·5√2 = 5/ sina

sina = √2/4

cosC = cos2a = 1 – 2sin²a = 1 – 2·( √2/4 )² = 3/4 →

угол С = arccos( 3/4 )

Или можно поступить следующим образом:

Б) Рассмотрим рисунок 1 :

точка Е - центр окружности, описанной около треугольника АВС
KE = AE = 5•( корень из 2 )

Рассмотрим тр. АКЕ:
По теореме косинусов:
АК^2 = АЕ^2 + КЕ^2 - 2• АЕ•КЕ•cos AEK
25 = 50 + 50 - 2•50•cos AEK

cos AEK = 3/4

угол АЕК = arccos( 3/4 )

Угол АСВ является вписанным углом окружности с центром в точке Е
▪Вписанный угол равен половине дуги, на которую этот угол опирается ▪
Угол АСВ = ( 1/2 ) • U AKB

U BK = U KA - равные хорды ВА и КА стягивают равные дуги

Угол АСВ = ( 1/2 ) • U AKB = U KA = U BK

Угол АКЕ является центральным углом окружности с центром в точке Е
▪ Центральный угол равен дуге, на которую этот угол опирается ▪
Угол АКЕ = U KA

Значит, угол АСВ = угол АКЕ = arccos( 3/4 )

Также если сделать замену:
r - радиус описанной окружности около треугольника АОВ
R - радиус описанной окружности около треугольника АВС , тогда

угол АСВ = arccos( ( 2R^2 - r^2 )/ 2R^2 )

ОТВЕТ: угол С = arccos( 3/4 )