Окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны ВС в точке К. Отрезки АК и DК пересекают окружность в точках Р и Q. Найдите длину PQ, если сторона квадрата равна 1.

Векторы AD и BC равны, так как они равны по модулю, коллинеарны (стороны прямоугольника) и сонаправлены. Значит вектор BK = (3/7)*b, а вектор KC = (4/7)*b (так как  ВС=ВК+КС=3х+4х=7х, тогда ВК=(3/7)*ВС, а KC = (4/7)*ВС).
Поскольку сумма двух векторов (второй из конца первого) равна вектору, направленному от начала первого к концу второго, то AK=AB+BK = a+(3/7)*b,  DK=DC+CK = a - (4/7)*b (так как вектор DC равен вектору AB, а вектор CK = -KC, поскольку направлен в противоположную сторону).
ответ: AK = a+(3/7)*b, DK = a - (4/7)*b.

Для краткости и ясности записи пусть OA = a; OB = b; OC = c; OD = d;
Площадь AOB Saob = a*b*sin(Ф)/2; где Ф = ∠AOB; 
аналогично Sboc = b*c*sin(Ф)/2; Scod = c*d*sin(Ф)/2; Saod = a*d*sin(Ф)/2;
Отсюда легко видеть, что
если c*d = x; то a*b = 2*x; и
если a*d = y; то c*b = 18*y; где x и y - неизвестные пока величины.
Отсюда 9*y/x = c/a; и x/y = c/a; то есть (x/y)^2 = 9; x = 3*y;
(или можно перемножить :) abcd = 2x^2 = 18y^2; x = 3y;)
Получилось, что Scod = 3*Saod; 
28 = Saod + 3*Saod + 18*Saod + 6*Saod = 28*Saod;
Saod = 1; Saob = 6; Sboc = 18; Scod = 3;