Даны точки A(1;1;5;-3) B(4;-4;1) C(2;0;-1) Найти: 1) периметр треугольника ABC 2) Медиану AK​

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой C проведена высота CH, при этом AH=x, BH=x+5 (по условию, один из этих отрезков больше другого на 5 см). Тогда CH²=AH*BH, 6²=x(x+5), x²+5x=36, x²+5x-36=0. Решим это квадратное уравнение: D=25+36*4=169=13², x₁=(-5+13)/2=4, x₂=(-5-13)/2=-9, x₂ - посторонний корень, так как длина отрезка - положительное число. Тогда AH=4, BH=9, AB=13. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, в нём катеты AH и CH равны 4 и 6, тогда гипотенуза AC по теореме Пифагора равна √4²+6²=√52. Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник BCH, в котором катеты CH и BH равны 6 и 9, тогда гипотенуза BC по теореме Пифагора равна √6²+9²=√117. 

Таким образом, стороны треугольника равны √52, √117, 13.

Построим параллельно короткой боковой стороне АБ отрезок ДВ
И нахождение острых углов трапеции равносильно нахождению углов при основании синего треугольника
По теореме косинусов для угла Д
35² = 28²+42²-2*28*42*cos∠Д 
2*28*42*cos∠Д = 28²+42²-35² = 1323
cos∠Д = 3³*7²/(2*4*7*2*3*7) = 3²/16 = 9/16
∠А = ∠Д = arccos(9/16) ≈ 55,77°
∠Б = 180-∠А = 180-arccos(9/16) ≈ 34,23°
По теореме косинусов для угла Г
28² = 35²+42²-2*35*42*cos∠Г
2*35*42*cos∠Г = 35²+42²-28² = 2205
cos∠Г = 3²*5*7²/(2*5*7*2*3*7) = 3/4
∠Г = arccos(3/4) ≈ 41,41°
∠В = 180-∠Г = 180-arccos(3/4) ≈ 138,59°