В треугольнике ABC провели высоты AD и CE. Найдите угол ABC, если известно, что радиус окружности вписанной в треугольник EBD вдвое больше радиуса окружности вписанной в треугольник ABC.

Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей (диагонали у прямоугольника равны, поэтому и половинки равны) малой стороной. так как половины диагоналей равны, то рассматриваемый треугольник, как минимум, равнобедренный. Углу при его основании равны. Сумма углов в треугольнике 180, значит угол при основании треугольника (180-60)/2=60. как видим, три угла равны 60град. Значит, рассматриваемый треугольник равносторонний, а равностороннего треугольника стороны равны. Значит половина диагонали равна 32. Значит вся диагональ 2×32=64см. Все.
Нарисуйте и назовите буквами. Мои слова запишите через буквы

1) CN=CD/2=BC => △BCN - равнобедренный, углы при основании равны, ∠CBN=∠CNB

∠ABN=∠CNB (накрест лежащие при AB||CD)

∠ABN=∠CBN, BN - биссектриса ∠ABC (делит угол на два равных)

2) Площади треугольников с равной высотой относятся как их основания. Обозначим площади ABK=8x, AKM=MKC=5x, ACK=10x. Площади треугольников с равным основанием относятся как их высоты. Высоты треугольников ABK и ACK относятся как 8:10. Следовательно площади BKP и CKP относятся как 8:10. Обозначим площади BKP=8y, BKC=18y. Площади BKC и MKC относятся как 8:5.

S(BKC)/S(MKC) =18y/5x =8/5

S(BKP)/S(AKM) =8y/5x =8/5 * 4/9 =32/45

Или по теореме Менелая:

CP/PB *BK/KM *MA/AC =1 <=> CP/PB *8/5 *1/2 =1 <=> CP/PB=10/8

CM/MA *AK/KP *PB/BC =1 <=> AK/KP *8/18 =1 <=> AK/KP=18/8

Площади треугольников с равным углом относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

S(BKP)/S(AKM) =BK*KP/AK*KM =8/5 *8/18 =32/45