Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b и пересекаются под углом a=45 градусов. Найти площадь четырехугольника с вершинами на середина сторон данного четырехугольника
Объяснение:
МКНР -выпуклый четырехугольник ,МН=а , КР=b ,О-точка пересечения диагоналей , ∠КОН=45°.
Пусть А, В, С, Д-середины сторон. Тогда
АД-средняя линия ΔМВН , АД=1/2*а;
ВС-средняя линия ΔМРН , ВС=1/2*а;
АВ-средняя линия ΔКНР , АВ=1/2*b ;
СД-средняя линия ΔКМР , АВ=1/2*b . Получили , что противоположные стороны попарно равны⇒ АВСД-параллелограмм , по признаку параллелограмма.
S=a*b*sinα , Найдем угол α между сторонами параллелограмма.
Т.к АД║МН , АВ║КР , по свойству средней линии , то синяя фигура на чертеже -параллелограмм, у которой противоположные углы равны⇒∠ДАВ=45°.
S=АД*АВ*sin∠ДАВ =1/2*а*1/2*b*sin45°=1/4*ab*√2/2=(ab√2)/8.
