НА ПОУЧИ, НЕУЧ!
Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).
Коллинеарные вектора
рис. 1
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение
a × b =
i j k
ax ay az
bx by bz
= i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx) =
= i (aynaz - aznay) - j (axnaz - aznax) + k (axnay - aynax) = 0i + 0j + 0k = 0
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
ax = ay .
bx by
Значит:
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 = 2 .
4 8
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 ≠ 2 .
5 9
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 ≠ 9 .
4 8
Пример 2. Доказать что вектора a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
n = by = 6 = 2
ay 3
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}
Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
ax = ay .
bx by
Значит:
3 = 2 .
9 n
Решим это уравнение:
n = 2 · 9 = 6
3
ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
ax = ay = az .
bx by bz
Значит:
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
n = by = 6 = 2
ay 3
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}
Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
ax = ay = az .
bx by bz
Значит:
3 = 2 = m
9 n 12
Из этого соотношения получим два уравнения:
3 = 2
9 n
3 = m
9 12
Решим эти уравнения:
n = 2 · 9 = 6
3
m = 3 · 12 = 4
9
ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
1) Дано: АВ ┴ CD, ∟СОК = 42 °, ∟МОК + ∟ВОК = 130 °.
Найти: ∟МОК.
АВ ┴ CD, ∟COB = 90 °, ∟AOC = 90 °.
По аксиомой измерения углов имеем:
∟СОВ = ∟СОК + ∟КОВ, ∟КОВ = ∟СОВ - ∟СОК, ∟КОВ = 90 ° - 42 ° = 48 °.
∟МОК + ∟ВОК = 130 °, ∟МОК = 130 ° - 48 ° = 82 °,
2): ∟MOD.
По условию АВ ┴ CD, тогда ∟АОС = ∟СОВ = 90 °, ∟AOD = 90 °. ∟AOB = 180 °.
По аксиомой измерения углов имеем:
∟МОК + ∟ВОК = ∟MOB - 130 °. ∟АОВ = ∟AOM + ∟MOB, ∟AOM = ∟АОВ - ∟MOB,
∟АОМ = 180 ° - 130 ° = 50 °. ∟MOD = ∟МОА + ∟AOD, ∟MOD = 90 ° 50 ° = 140 °.
Biдповидь: ∟МОК = 82 °, ∟MOD = 140 °.
Объяснение:
