Формула объема шара
V шара=4 πr³:3
4 πr³:3=32:3 ⇒
πr³=8
Формула объема конуса
Vкон=πR²H:3
Так как диаметральное сечение (окружность ) шара вписано в правильный треугольник, его радиус r равен 1/3 высоты этого треугольника и равен 1/3 высоты конуса.
⇒Н=3r
Радиус основания конуса равен 1/2 стороны этого треугольника, которая является диаметром конуса.
Сторону треугольника ( осевого сечения конуса) найдем по синусу угла при основании:
а=Н:sin(60°)= 3r*2:√3=2r√3
Радиус R основания конуса равен половине стороны треугольника - осевого сечения конуса.
R=r√3
Подставим значение R и Н, выраженное через r, в формулу объема конуса
Vкон=πR²H:3
Vкон=π(r√3)²3r:3=3πr²*3r:3=3πr³
Из вычислений, сделанных ранее, найдено, что
πr³=8
Vкон=3*8=24
В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объём конуса, если объём шара равен
Vшар = 4pi*R^3/3
32/3= 4piR^3/3
4piR^3=32
R=(8/pi)^(1/3)
теперь найдем длину стороны через формулу R=√3a/6
(8/pi)^(1/3) = √3/6 *a
a= 12/pi^(1/3)*√3
теперь радиус самого конуса будет равен
половине стороны!
значит он равен
R= 6/pi^(1/3)*√3
H=√3/2 *a = 6/pi^(1/3)
теперь все ставим в формулу V= piR^2/3 = 12/ pi^(2/3)*pi*6/pi^(1/3) /3= 72/3 =24
