Стороны треугольника АВС относятся как 6:5:10. Найдите меньшую сторону треугольника ОРК, подобного треугольнику АВС, если периметр треугольника ОРК равен 42 см.

Длина отрезка АВ = √(2-(-2))²+(-3-3)²) = √(16+36) = √52 = 2√13.
Середина его - начало координат (полусумма координат по х и по у равна 0). Угловой коэффициент а прямой АВ = Δу/Δх = -6/4 = -3/2.
Точка С лежит на перпендикуляре к середине отрезка АВ.
Коэффициент а₁ в уравнении этой прямой равен -1/а = -1/(-3/2) = 2/3.
Уравнение этой прямой у = (2/3)х.
Для определения координат точки С надо решить систему уравнений - окружности с радиусом R = √52 с центром в одной из точек А или В и прямой у = (2/3)х. Примем за центр точку В.

Решаем систему подстановки значение у из второго уравнения  в первое.
Получаем, раскрыв скобки и приведя подобные, х² = 351/13 = 27.
Отсюда х = +-√27 = +-3√3.
             у = +-2√3.
То есть имеем 2 точки, симметричные АВ, в которых может находиться вершина С(3√3; 2√3) и
              С(-3√3; -2√3).

а) r = 2

в) ∠EOF = 90°

   ∠EDF = 45°

Объяснение:

а) Проведем радиусы OE и OF.

ОЕ ⊥ ВС,  OF ⊥ АС как радиусы, проведенные в точки касания.

Тогда в четырехугольнике CFOE:

∠OFC = ∠OEC = ∠ECF = 90°.

Сумма углов четырехугольника равна 360°, значит

∠EOF = 360° - 3 · 90° = 360° - 270° = 90°

Тогда CFOE - прямоугольник.

OE = OF как радиусы, значит CFOE - квадрат со стороной, равной r.

Из прямоугольного треугольника СЕО по теореме Пифагора составим уравнение:

CE² + OE² = CO²

r² + r² = (2√2)²

2r² = 8

r² = 4

r = 2

в)  ∠EOF = 90°- центральный угол, тогда

∠EDF = 1/2 ∠EOF = 45°, так как этот угол - вписанный, опирающийся на ту же дугу.