Для любознательных! по СТРАНИЦАМ РУССКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ XIX ВЕКА
Викторина
1. Кто автор строк: «Мы вольные птицы!»?
2. Кому Пушкин посвятил стихотворение, которое начинается так: «Мой
первый друг! Мой друг бесценный!»?
3. Кто из героев повести А. С. Пушкина «Дубровский» «прямо высказывал
своё мнение, не заботясь о том, противоречило ли оно мнению хозяина»?
4. Как называется село, где проживал старинный русский барин Кирила
Петрович Троекуров?
5. По какому поводу Владимир Дубровский сказал: «Я не намерен терпеть
обиду!»?
6. Кто автор этих строк:
И вижу — Пушкин бронзовый стоит.
В его груди клокочет страсть живая,
Рукой, в раздумье, сердце прикрывая,
В плащё старинном он, но близкий, свой?
7. Какую клятву дали защитники Отечества в Бородинском сражении?
(М. Ю. Лермонтов. «Бородино»)
...
143​

Доказательство в объяснении.

Объяснение:

Определение: внешний угол треугольника (многоугольника) - угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны.

Таким образом, при каждой вершине прямоугольника образуется по два внешних угла. В прямоугольнике внутренние углы прямые, значит и внешние углы, смежные с внутренними,  также прямые. Биссектриса прямого угла делит его на два угла по 45°. Следовательно, пересекаясь, биссектрисы образуют прямоугольные равнобедренные треугольники при общей гипотенузе - стороне прямоугольника - треугольники DFA, AFB, BGC и CHD.

Отрезки АВ = CD, BC = AD как противоположные стороны прямоугольника, следовательно отрезки (катеты равнобедренных треугольников) равны: EA=ED=GB=GC, FA=FB=HC=HD  => EF=FG=GH=HE (как суммы равных отрезков). Значит EFGH - параллелограмм (по признаку), а так как все стороны равны, то ромб. Кроме того, ∠E = ∠F = ∠G = ∠H  = 90°  =>

EFGH - квадрат, что и требовалось доказать.

Пусть сначала было n точек. Тогда у этих n точек была n-1 пара соседних точек (1 и 2 точки, 2 и 3 точки, и так далее, n-1 и n точки, если нумеровать слева направо). Значит, после того, как между каждыми двумя соседними точками отметили по одной, точек стало n+(n-1)=2n-1. Аналогично рассуждая, получим, что у 2n-1 точки есть 2n-2 пары соседних точек. Значит, после того, как операцию проделали ещё раз, точек стало (2n-1)+(2n-2)=4n-3. Если 4n-3=101, то 4n=104, n=26. Таким образом, сначала было 26 точек.