Скільки раз на добу в годиннику одна з трьох стрілок стає бісектрисою двох інших?

1) Рассмотрим тр. ВСД и ДКА,
углы ВСД и ДКА = 90 градусам,
угол КДА = углу ДВС (из равенства Δ ВСД и Δ ДАВ, они равны по двум катетам)
Значит тр. ВСД подобен тр. ДКА (по равенству двух углов), и ДК/ВС = АД/ВД,

ДК = 15, ВД = 15+5 = 20, ВС=ДА, 
значит 15/ВС = АД/20
Заменим АД ВС (т.к. они равны):
ВС^2 = 300,

ВС = АД = корню из 300 = 10√3 (см).
2) Теперь рассмотрим тр. ВСД, где угол ВСД = 90 гр.
ВД^2 = ВС^2 + СД^2 (по теореме Пифагора)
СД = √(400 - 300) = √100 = 10 (см)
ВС/СД = 10√3/10 = √3.
3)Р Δвсд = ВС + СД +ВД = 10√3 + 10 + 20 = 30 + 10√3 (см).
4) S Δвсд = (произведению катетов) ВС × СД = 10√3 × 10 = 100√3 (см^2).
ответ: а) √3; б) (30 + 10√3) см; в) 100√3 см^2.

ПУсть плоскость проведенная через середины ребер AB, BC, BB1 пересекает эти ребра в точках N, M, K соответственно.

Δ BMN - равнобедренный, прямоугольный ==> угол M=углу N = 45 градусов

Δ ACD - равнобедренный, прямоугольный ==> угол A=углу C = 45 градусов

==>

MN || AC(т.к соответственные углы равны, при пересечении данных прямых  прямой  ВС)

 

Δ BКN - равнобедренный, прямоугольный ==> угол К=углу N = 45 градусов

Δ ABB1 - равнобедренный, прямоугольный ==> угол A=углу B1 = 45 градусов

==>

AB1 || KN(т.к соответственные углы равны, при пересечении данных прямых  прямой  ВB1)

==>

плоскость ACB1 || KMN

 

Δ ACB1 - равносторонний(AB1=B1C=AC)

рассмотрим Δ ACD - равнобедренный, прямоугольный, ==>

по т-ме Пифагора AC^2 = AD^2+CD^2 = 2*AD^2       AC= AD* корень из 2 = 2корня из 2

Pacb1 = 3*AC = 6корней из 2