Нехай прямі а і b перетинаються третьою прямою с, яка називається січною. Тоді утворюється вісім кутів, які мають спеціальні назви: кути 3, 4, 5, 6 – внутрішні, кути 1, 2, 7, 8 – зовнішні.
Пари кутів 1 і 5, 2 і 6, 3 і 7, 4 і 8 називаються відповідними, пари кутів 3 і 6, 4 і 5 – внутрішніми різносторонніми, пари кутів 1 і 8, 2 і 7 – зовнішніми різносторонніми. Пари кутів 3 і 5, 4 і 6 називаються, 1 і 7, 2 і 8 – зовнішніми односторонніми.
Якщо дві паралельні прямі а і b перетнуті прямою с, то:
внутрішні різносторонні кути ріні, тобто ;
сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто , ;
відповідні кути рівні, тобто ;
зовнішні різносторонні кути рівні, тобто ;
сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто .
h - высота ABC. Построим BD||AC, BD=h. EF||AC.
Основание треугольника BAD равно его высоте. Треугольники BAD и EAF подобны, их основания относятся как высоты. Основание треугольника EAF равно его высоте. EF - сторона вписанного квадрата, EF=a.
Пусть площадь квадрата меньше площади треугольника в k раз, AC=x, тогда площадь ABC
xh/2 = ka^2
Треугольники AFC и DFB подобны
x/h = a/(h-a)
xh = 2ka^2
x+h = xh/a = 2ka
По теореме Виета
x,h = ka +- V(k^2*a^2 -2ka^2)
x,h = a( k ± √(k(k-2)) )
При k=6
x,h = a(6 +- 2V6)
