4. Накресліть квадрат ABCD сторона якого 3см, точка к належить стороні AD, так, шо AK KD 1:2. Побудуйте образ цього квадрата при
roмoтerif з коефіціантом -1,5 і центром в точці К. Знайти відстань від
точки Dквадрата ABCD до образів його вершин.​

По первому признаку подобия треугольников имеем, что данные равнобедр.треуг. подобны. Коэффициент их подобия равен как отношению соотв.сторон, так и отношению периметров. Найдем боковые стороны первого треугольника. Высота к основанию является также медианой, значит по теореме Пифагора боковая сторона равна кореньиз(64+36)=10. Периметр первого треугольника равен 10+10+16=36. Коэффициент подобия k=54/36=3/2=1,5. Значит боковые стороны второго равнобедр.треугольника равны 10*1,5=15 см, а основание равно 16*1,5=24 см.

Точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС (∠АСВ = 90°) и расположена на расстоянии 4√2 см от его плоскости. Проекция точки Р на плоскость ΔАВС принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой РС и плоскостью (АВС), если АС = 12 см,  ВС = 16 см.

Решение

1) Тк точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС, то  проекцией точки Р на плоскость ΔАВС  является центр описанной окружности , те середина   гипотенузы (точка Е).

Углом между прямой РС и плоскостью (АВС) есть угол между прямой РС и ее проекцией ЕС , те ∠РСЕ.

2)ΔАВС, по т Пифагора АВ=√(АС²+ВС²) , АВ=√(12²+16²)=20 (см)

АЕ=ВЕ=20:2=10 (см). Точка Е-центр описанной окружности R=АЕ=ВЕ=СЕ=10 см.

3)ΔРЕС-прямоугольный (∠РЕС=90°) , tg∠PCE=PE/CE , tg∠PCE=4√2/10=2√2/5,     ∠PCE=arctg(2√2/5).