В треугольнике ABC AC=CB=10см, угол A=30 градусов, BK- перпендикуляр у плоскости треугольника и равен 5 см. Найти расстояние от K до AC
Рассмотрим образованную пирамиду АВСК. КВ перпендикулярно АВС, значит нам необходимо найти длину высоты, опущенной в грани АСК из вершины К на АС. По теореме о трех перпендикулярах ее проекция на плоскость АВС будет перпендикулярна АС. Обозначим точку пересечения высоты с АС через Н. Тогда нужно найти КН.
Рассмотрим основание пирамиды - треугольник АВС. Он равнобедренный АС=ВС=10, с углом у основания А=30 градусов. Опустим высоту из вершины треугольника С на АВ - СМ. Высота, опущенная из точки С, будет и биссектрисой, и медианой треугольника. То есть АМ=МВ. Треугольник АСМ - прямоугольный, с одним из осмтрых углов = 30 градусов, значит катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы: АМ=1/2*АС, АМ=1/2*10=5 (см) . По теореме Пифагора найдем второй катет СМ:
CM=sqrt(AC2-AM2)
CM=sqrt(100-25)=sqrt75=5sqrt3
BH- проекция КН на плоскость основания АВС, и, как было уже отмечено, ВН перпендикулярна АС. Рассм отрим треугольники АНВ и АМС- они подобны:
АН/АМ=НВ/МС=АВ/АС
НВ/МС=АВ/АС
НВ=МС*АВ/АС
НВ=5*(2*5sqrt3)/10=5sqrt3
Треугольник КНВ - прямоугольный (КВ перпендикулярно плоскости АВС) . По теореме Пифагора найдем КН:
KH2=KB2+HB2
KH=sqrt(25+75)=sqrt100=10 (см)
10
Объяснение:
1) Рассчитаем соотношение длин отрезков АК и КВ гипотенузы АВ, для чего площадь треугольника СКВ (S₂) разделим на площадь треугольника АКС (S₁) :
S₂ = 1/2 · КВ · КС = 16 (площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту)
S₁ = 1/2 · АК · КС = 4
Отношение площадей:
S₂ : S₁ = (1/2 · КВ · КС) : (1/2 · АК · КС) = КВ : АК = 16 : 4 = 4
Мы получили соотношение длин отрезков АК и КВ гипотенузы АВ:
КВ = 4 АК .
Путь АК = х, тогда КВ = 4х
2) Так как перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу, то:
СК² = АК · КВ
СК² = х · 4х
СК² = 4х²
СК = √(4х²) = 2х
3) Выразим площадь треугольника АКС через х и найдём значение х (то есть длину отрезка АК):
АК = х, КС = 2х
S₁ = 1/2 · АК · КС = 4
1/2 · х · 2х = 4
2х² = 8
х² = 4
х = √4 = 2
Таким образом:
АК = 2
4) Так как КВ = 4 АК,
то КВ = 2 · 4 = 8
КВ = 8
5) АВ = АК + КВ = 2 + 8 = 10
АВ = 10
ответ: гипотенуза АВ = 10
