При гомотетії з центром у точці F точка М(2;-3) переходить у точку М1(0;-1), а точка К(2;3)-у точку К1(0;1). Знайти координати точки F і коефіцієнт гомотетії.

Объяснение:

1) Третий признак подобия треугольников: пропорциональны три стороны.

Сопоставим стороны треугольников ABC и ACD:

Меньшая сторона: BC = 8, CD = 12

Средняя сторона: AB = 12, AC = 18

Большая сторона: AC = 18, AD = 27

Все эти три пары относятся друг к другу как 2 к 3

BC / CD = 8 / 12 = 2 / 3

AB / AC = 12 / 18 = 2 / 3

AC / AD = 18 / 27 = 2 / 3

Отсюда следует, что треугольники подобны, что и требовалось доказать.

2) Первый признак подобия треугольников:

Два угла равны

Рассмотрим треугольники KBP и ABC

Угол ABC - общий

Углы KPB и BAC равны по условию

Значит, у этих треугольников соблюдается равенство двух углов, значит, они подобны.

3) Второй признак подобия:

Две стороны треугольников пропорциональны и углы, заключающие эти стороны, равны.

AB * BK = CB * BP

Разделим выражение на CB

(AB / CB) * BK = BP

Разделим выражение на BK

AB / CB = BP / BK

Угол ABC - общий, он заключает пропорциональные стороны треугольников, значит, треугольник ABC подобен треугольнику KBP.

Треугольники АСД и АВС равнобедренные по условию.
∠ВСА=∠САД как накрест лежащие при параллельных АД и ВС и секущей АС, значит углы при основаниях в тр-ках АВС и АСД равны.
ВМ⊥АС, СК⊥АД.
Пусть ∠ВАС=α, ВС=х, АС=у, тогда АМ=у/2, АД=ВС+СД=х+у.
В тр-ке АВМ АМ=АВ·cosα или у/2=х·cosα ⇒ y=2x·cosα.
В тр-ке АСК АК=АС·cosα или (х+у)/2=у·cosα,
(x+2x·cosα)/2=2x·cos²α,
x+2x·cosα=4x·cos²α, x сокращается,
4cos²α-2cosα-1=0, решаем как квадратное уравнение с неизвестным cosα  ⇒⇒
cosα₁=(1-√5)/4, -1<х<0 - угол тупой
cosα₂=(1+√5)/4,
α=arccos(1+√5)/4=36°.
В трапеции АВСД:
∠А=2α=72°,
∠В=180-∠А=108°,
∠Д=α=36°,
∠С=180-∠Д=144° - это ответ.