ВD - высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит и биссектриса.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
В треугольнике АВМ ВО - биссектриса, значит
АО : ОМ = ВА : ВМ
ВА = АО · ВМ / ОМ = 18 · 16 / 12 = 24 см
Доказательство свойства биссектрисы (на всякий случай)
Проведем прямую АК║BD, К - точка пересечения этой прямой с прямой ВС.
∠DBA = ∠KAB как накрест лежащие (AK ║ BD, AB секущая),
∠CBD = ∠СКА как соответственные (АК ║ BD, СК секущая),
так как ∠DBA = ∠CBD, то и ∠КАВ = ∠СКА, тогда
ΔАВК равнобедренный, АВ = ВК.
По обобщенной теореме Фалеса:
АО : ОМ = КВ : ВМ или
АО : ОМ = АВ : ВМ.
ответ: Угол А=68°
Объяснение:
Треугольник, вершинами которого являются основания высот какого либо треугольника, называется ортотреугольником.
а) В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
б) Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
Для решения данной задачи достаточно применить второе из указанных свойств.
Высоты ∆ АВС перпендикулярны его сторонам.
∠ВВ1 делит угол В1 на два по 66°:2=33°. ⇒ ∠С1В1А=∠ВВ1А-∠ВВ1С1=90°-33°=57°
Аналогично ∠В1С1А=90°-0,5∠А1С1В1=90°-70°:2=55°.
Сумма углов треугольника 180°⇒
∠А=180°-(АС1В1+АВ1С1)=180°-(57°+55°)=68°.
Углы В и С вычисляются таким же образом:
∠В=57°, ∠С=55°
—————
Обратим внимание на то, что углы при вершинах ∆ АВС равны разности между прямым углом и половиной угла ортотреугольника при основании высоты из вершины исходного треугольника..
Для угла А=90°- 0,5•угол А1=90°-22°=68°
Для угла В=90°-0,5•угол В1=90°-33°=57°
Для угла С=90°-0,5•угол С1=90°-35°=55°
