2. Казка-Питання. Зібралися представники всіх видів трикутників на лісовій галявині і стали
обговорювати питання про вибір свого короля. Довго сперечалися і ніяк не
могли прийти до єдиної думки. І ось один старий трикутник сказав: “ Давайте
всі підемо до царства трикутників. Хто першим прийде, той і буде королем .
Всі погодилися. Рано вранці трикутники відправилися в далеку подорож. На
дорозі мандрівників зустрілася річка, яка сказала: Перепливуть мене лише ті,
у кого всі кути гострі». Частина трикутників залишилися на березі, інші
перепливли і відправилися далі. На дорозі їм зустрілася висока гора, яка
сказала, що дасть пройти лише тим, у кого хоч би дві сторони рівні. Що
здолали другу перешкоду продовжили дорогу. Дійшли до великого обриву, де
був вузький міст. Міст сказав, що пропустить тих, у кого всі сторони рівні. По
мосту пройшов лише один трикутник, який першим дістався до царства і був
проголошений королем​

Площадь трапеции  S=156 см²

Объяснение:

Окружность можно вписать в трапецию тогда и только тогда, когда сумма ее боковых сторон, равна  сумме оснований т,е AB+CD= AD+BC  

13+13=26см ( AD+BC ), отсюда -  сумма оснований AB+CD=26см,  

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

S=(а+b):2*h

Высота равнобокой трапеции АВСD равна диаметру вписаной окружности.  Зная длинну вписанной окружности в трапецию АВСD, найдем ее диаметр  по формуле: P=πd , где P-длинна окружности, которая по условию задачи равна 12πсм.

Подставляем известные значения в формулу и находим диаметр:

12π= πd  

d =12π:π; d=12см  

Площадь трапеции  S=26:2*12=156 см²

Пусть имеем четырёхугольник АВСД.
Свойство четырёхугольника, вписанного в окружность, - сумма противолежащих углов равна 180 градусов.
Разделим его диагональю АС на 2 треугольника: АВС и АСД.
Так как <D = 180-(<B), то cos D = -cos B.
Выразим по теореме косинусов сторону АС из двух треугольников, обозначив АС=у, cos B = х, а cos Д = -х.
у² = 3²+10² - 2*3*10*х = 109 - 60х,
у² = 5² + 8² +2*5*8*х   =  89 + 80х.
Вычтем из второго уравнения первое:
-20+140х = 0 или х = 20/140 = 1/7. Это cos B = 1/7, а cos Д = -1/7.
Теперь можно найти значение диагонали АС:
АС² = 109-60*(1/7) = (109*7 - 60) / 7 = 703/7 ≈  10,021406.

Площадь заданного четырёхугольника определим как сумму площадей треугольников АВС и АСД, площадь которых найдём по формуле Герона.
Полупериметр АВС =   11,510703, АСД =  11.510703.

S(АВС) =  √( 11.510703( 11.510703-3)( 11.510703-10)( 11.510703-10,021406)) = 14,8461498.
S(АСД) =  √( 11.510703( 11.510703-5)( 11.510703-8)( 11.510703-10,021406)) = 19,7948664.

ответ: S(АВСД) = 14,8461498 + 19,7948664 =  34.641016 кв.ед.