В прямоугольном треугольнике биссектриса наиболь- шего угла образует с гипотенузой углы, один из ко-
торых в 2 раза больше другого. Найдите острые углы
данного треугольника.
нужно !! с объяснением

Вариант решения. 
Пусть S - площадь треугольника АВС. 
Необходимо найти отношение площадей треугольника АРМ и четырехугольника ВРМС. 
Сделаем рисунок и соединим В и М отрезком ВМ. 
Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований. 
Высота ∆ АВМ и ∆ АВС одна и та же. 
Основания их относятся как АМ:АС = 3:(3+5) ,  
 Площадь ∆ АВМ равна 3/8 площади ∆ АВС, т.е. ³/₈S 
На том же основании площадь ∆ АРМ равна 5/9 площади ∆ АВМ ( у них одна и та же высота из М к АВ) и равна ⁵/₉ от ³/₈S 
Площадь ∆ АРМ=¹⁵/₇₂S=⁵/₂₄S
Площадь четырехугольника ВРМС равна 
S(ABC) - ⁵/₂₄(S(ABC) =¹⁹/₂₄ S(∆ ABC) 
Площади ∆ АРМ и четырехугольника ВРМС относятся как 
(⁵/₂₄S):¹⁹/₂₄ S)=5:19

Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна  ее половине . В условии не сказано, параллельно какой из сторон проведена средняя линия MN, поэтому может быть два варианта решения.
1 вариант:
MN параллельна основанию RS,  RF=SF, RS+2*RF=30 (дано). Тогда
RS=8, а RF=(30-8):2=11.
2 вариант:
MN параллельна боковой стороне RF. Тогда
RF=SF=8, а RS=30-2*8=14.

Оба варианта удовлетворяют условию существования треугольника (теорема о неравенстве), так как большая сторона меньше суммы двух других сторон.