Дан параллелипипед abcda1b1c1d1. R- точка пересечения медиан треугольника aa1d1. AM:MB=1:5 выразить вектор MR через вектора c1c; c1b; c1d

1) Рассмотрим рис.1 вложения 
Трапеция равнобедренная, т.к. в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. 
ВК=ВД по условию, АВ=СД как боковые стороны равнобедренной трапеции.
В окружности равные хорды опираются на равные дуги.   .
Равные хорды ВК и ВД опираются на равные дуги, следовательно, на равные дуги опираются вписанные углы ВАК и ВСД.
Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.  
Вписанные углы АКВ и СВД опираются на равные дуги и потому равны.
В треугольниках АВК и СВД  по два равных угла, следовательно, равны  в них и углы АВК и ВДС ( на рисунке равные углы окрашены в одинаковый цвет).
 В этих треугольниках между равным  сторонами АВ = ДС и ВК = ВД содержатся равные углы - отсюда эти треугольники равны.
АК=ВС=4 см
--------------------------------------
 2) Сделаем рисунок. Во вложении это рис.2 
Пусть касательная к окружности будет МН,  точка касания А, хорда, имеющая с касательной общую точку на окружности, АВ. 
Проведем через центр окружности ещё одну хорду с общей точкой с касательной в точке А. Эта хорда - диаметр АС.
Угол САН - прямой ( диаметр к точке касания перпендикулярен касательной)   и равен половине дуги АеВдС, которая равна 180 градусов
Угол НАС равен сумме углов САВ и ВАН,  равен половине градусной меры дуги  СдВеА и равен 90 градусам. 
Дуга АеВдС равна сумме дуг ВдС и ВеА 
Угол САВ, как вписанный,  равен половине градусной меры дуги ВдС  
 Так как  половины дуг АеВ и ВдС в сумме равны 90 градусам, угол НАВ равен половине градусной меры дуги АеВ, что и требовалось доказать. 

Дано: равносторонний треугольник АВС, R = 20 см

Найти: P - ?

1. Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника равен двум радиусам вписанной в него окружности => r = 20:2 = 10 см.

2. Если сложить два радиуса, получим высоту, медиану и биссектрису треугольника одновременно, так как он равносторонний => этот отрезок равен 10 + 20 = 30.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который отсёк этот отрезок (прямоуг. т. к. высота). Одна из сторон будет равна Х, другая - 2Х (т.к. Х - половина стороны р/ст треугольника, которую отсекла медиана, являющаяся высотой)

По теореме Пифагора находим Х:

4х² - х² = 900

3х² = 900

х² = 300

х = 10√3 и х = -10√3, но этот корень не подходит по усл., а значит он посторонний.

3. 10√3 - половина стороны, значит вся сторона = 20√3

Р = 3 * 20√3 = 60√3

ответ: 60√3