В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 20. Из точки D, середины AB, проведён перпендикуляр DE к стороне AB до пересечения со стороной BC в точке E. Периметр треугольника ABC равен 80 Найдите периметр треугольника AEC.

ΔАВС- равнобедренный.Пусть  АВ=ВС =а. ВЕ⊥ АС=10 см, DC⊥АВ=12 см. Найти R окр.,описанной около Δ СDB.
ΔCDB - прямоугольный. R=1/2·BC.(Радиус окружности ,описанной около прямоугольного треугольника = половине гипотенузы)
S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB·BC/AB·BC   ⇒  S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB/BC (1)
S(ΔDBC)=1/2 DB·DC=1/2·DB·12=6·DB                S(ΔDBC) = 6·DB
S(ΔABC)=1/2 AC·BE =1/2AC·10= 5·AC                 S(ΔABC)=5·AC
Получили,что S(ΔDBC)/ S(ΔABC) = 6·DB /5·AC  (2)
Следовательно, DB / BC = 6·DB / 5·AC      ⇒ 5AC=6BC  (3)
Из  Δ ВЕС  найдём  ЕС =х по т. Пифагора : ЕС²=ВС²-ВЕ²
х²=а²-10² ⇒ х=√а²-100     АС=2х=2·√а²-100
Используем (3) равенство :  5 АС=6 ВС и  АС=2х   ⇒
5·2√а²-100 = 6а  ⇒  100·(а²-100)=36 а²  ⇒  64 а²=10000  
а²=10000 / 64   ⇒  а=100 / 8    R = 1/2 a   =  50/8 = 25 / 4

В правильной шестиугольной призме АBCDEFFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой С₁F

(Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.)

-----------

Объяснение подробное и поэтому длинное, хотя решение задачи довольно простое. 

Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного  от точки перпендикулярно к этой прямой

Соединим попарно точки C₁ и F, B и C₁, B и F.

Если провести через середины ВС и ЕF прямую, то она - диаметр вписанной в основание окружности.  ВF параллельна этому диаметру и перпендикулярна СВ.

 СВ, проекция наклонной С₁В,  перпендикулярна ВF ⇒ 

по т. о трех перпендикулярах С₁В ⊥BF  ⇒

⊿ ВС₁F прямоугольный с прямым углом C₁BF

Искомое расстояние - высота ВН, проведенная из прямого угла этого треугольника к гипотенузе C₁F

C₁F найдем из  ∆ С₁BF- он прямоугольный, т.к. все ребра правильной призмы перпендикулярны основанию.

СF равен длине двух сторон основания, т.е. 2.

СС1=1 по условию. 

С₁F=√(2²+1²)=√5

C₁B=√(CC₁²+CB²)=√2

BF можно найти по т.косинусов, можно из прямоугольного ∆АВМ, в котором угол АВМ=30º ( как угол при основании равнобедренного ∆ ВАF, где угол при А=120, а угол МАВ=60º).

ВМ =АВ*sin60º=√3):2

BF=2 BM=√3

S ∆ BC₁F=BC₁•BF:2=(√2•√3):2=(√6):2

ВН ∆ BC₁F=2S:C₁F=(√6):√5 или, если извлечь корни, примерно 1,095 (ед. длины)