Points S(6, −2a) and T(4b, 6) lie in the circumference with the centre (7, −2a). Line segment ST is a diameter of the circle. What are the values of a and b ?

1200√3 см²

Объяснение:

Дано: КСМТ - трапеція, КС=МТ, ∠КМТ=90°,  КМ - бісектриса, ОМ=КО=ОТ=40 см. Знайти S(КСМТ).

∠КМТ - прямий, отже він спирається на діаметр описаного кола, тоді КТ=КО+ОТ=80 см.

∠СКМ=∠ТКМ за умовою,  ∠СМК=∠ТКМ як внутрішні при СМ║КТ і січній КМ, отже ∠КСМ=∠СКМ, а ΔКСМ - рівнобедрений, КС=СМ.

Проведемо радіус ОМ=40 см, ΔКОМ=ΔКСМ за двома кутами і спільною стороною,  отже КС=СМ=КО=ОМ=40 см.

МТ=КС=40 см.

ΔОМТ - рівнобедрений, проведемо МН - висоту і медіану.

ОН=ТН=40:2=20 см

За теоремою Піфагора МН=√(МТ²-ТН²)=√(1600-400)=√1200=20√3 см.

S(КСМТ)=(СМ+КТ):2*МН=(40+80):2*20√3=1200√3 см²

ВС = 16
АВ = 12
<АВС = 90°
ВМ - медиана
cos<ВМС - ?
Решение
В прямоугольном треугольнике ABC медиана равна половине гипотенузы.
1) Найдём по теореме Пифагора гипотенузу АС
АС² = АВ² + ВС²
АС² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400
АС = √400 = 20

2) Т.к. ВМ - медиана, то АМ = СМ = 20/2 = 10

3)Для ΔВСМ применим теорему косинусов
ВС² = ВМ² + СМ² - 2* ВМ * СМ * cos<BMC
256 = 100 + 100 - 2 * 10 *10 * cos<BMC
cos<BMC = - 56/200
cos<BMC = - 0.28 знак минус означает, что <ВМС - тупой
ответ: cos<BMC = - 0.28