Какую часть площади правильного шестиугольника составляет площадь многоугольника, вершинами которого являются середины сторон данного шестиугольника.

Обозначим треугольник АВС и АВ=АС, угол ВАС = а
тогда углы АВС = АСВ = 90 - а/2
если провести прямую через вершину, например, В, то должно получиться два равнобедренных треугольника ВАК и ВСК...
рассмотрим их...
АК --- часть АС=АВ => АК < АВ (не может быть АК=АВ)))
осталось два варианта: или АВ=ВК или ВК=АК
1)) ВК=АК
тогда угол АВК = а 
и угол ВКС = 2*а
треугольник ВКС тоже должен быть равнобедренным...
на угол КВС остается 180-2а-(90-а/2) = 90-3а/2
углы КВС и КСВ не могут быть равны (90-3а/2 не может быть равно 90-а/2)))
значит возможны два варианта:
или 2а = 90-3а/2 и тогда а = 180/7 градусов (еще 2 угла по 540/7)))
или 2а = 90-а/2 и тогда а = 180/5 = 36 градусов (еще 2 угла по 72)))
2)) ВК=АВ
тогда угол АКВ = а
и угол ВКС = 180-а 
треугольник ВКС тоже должен быть равнобедренным...
на угол КВС остается 180-(180-а)-(90-а/2) = 3а/2 - 90
углы ВКС и КСВ не могут быть равны (180-а не может быть равен 90-а/2)))
значит возможны два варианта:
или 3а/2 - 90 = 180-а и тогда а = 108 градусов (еще 2 угла по 36)))
или 3а/2 - 90 = 90-а/2 и тогда а = 90 градусов (еще 2 угла по 45)))
вроде так...

Вообщем я немного упростила это решение

Пусть большее сечение лежит выше центра шара по оси Z , его радиус 12 и центр в точке (0;0;z0)

Тогда его уравнение будет x^2+y^2+z0^2=R^2

Здесь R радиус сферы. Так как радиус большего сечения 12(24pi/2pi), то уравнение большего круга

Будет 12^2+z0^2=R^2

Меньшее сечение x^2+y^2+(z0+7)^2==R^2; 25+z0^2+14z0+47=R^2

Вычитаю из первого второе , получу

119-17z0-49=0

-14z0=-70

Z0=5

Выходит большее сечение находится от центра шара по оси z на расстоянии 5, значит

R^2=5^2+12^2=169

R=13

S(cф)=4pi*13^2=676pi