№1. Сторона правильной четырехугольной пирамиды равна а, а диагональное сечение - равносторонний треугольник. Найти объем пирамиды.
Пирамида QABCD, QO - высота, АQC- диагональное сечение, АВ=а.
V=S•h:3
S=a²
h=AC√3/2
AC=a:sin45°=a√2
h=a√6/2
V=a³√6/6
№2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а апофема – 15 см. Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, следовательно, QH⊥CD. По т. о 3-х перпендикулярах ОН⊥CD.
По т.Пифагора ОН=9 ( можно обойтись без вычислений, т.к. ∆ QOH- египетский, где отношение катет:гипотенуза=4:5).
ОН - половина АD, ⇒АD=2OH=18 (см)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению апофемы на полупериметр основания.
S=15•18•4:2=540 см².
————————
№3. Условие неполное.
Объем V правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC), на высоту h (OS)
Формула площади основания S=a²√3/2. Зная высоту, несложно вычислить объём данной пирамиды.
———————
№4.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
S(бок)=3•MH•AB:2=3•8/3•8:2=32
————————
№5
Основание пирамиды – треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. Найти площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости основания и делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды.
————————
№6.
Найти объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а диагональное сечение является равносторонним треугольником.
———————
Решения задач 4,5,6 даны в приложениях.
Объяснение:
Відповідь:
Четырехугольник А1В1С1Д1 - прямоугольник.
П = 15 см.
S = 12,5 см^2.
Пояснення:
В произвольном четырехугольнике АВСД диагонали АС и ВД пересекаются под прямыми углами. АС = 10 см., а ВД = 5 см. Соединим середины сторон четырехугольника АВСД и получим четырехугольник А1В1С1Д1. Докажем, что четырехугольник А1В1С1Д1 - является прямоугольником.
Рассмотрим треугольник АВС. Отрезок А1В1 - является средней линией этого треугольника, так как расстояние от диагонали АС до точек А1 и С1 равно половине расстояния от диагонали АС до точки В. Так как А1В1 - средняя линия треугольника АВС, то А1В1 параллельна диагонали АС и А1В1 = 1/2 × АС = 1/2 × 10 = 5 см.
Аналогично доказывается, что С1Д1 -средняя линия треугольника АСД, что А1Д1 - средняя линия треугольника АВД, что В1С1 - средняя линия треугольника ВСД.
В1С1 = 1/2 × ВД = 1/2 × 5 = 2,5 см.
Так как А1В1 и С1Д1 параллельны диагонали АС, то они параллельны и между собой.
Так как А1Д1 и В1С1 параллельны диагонали ВД, то они параллельны и между собой.
Так как диагонали АС и ВД перпендикулярны, то порарно перпендикулярны между собой и отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1А1, значит четырехугольник А1В1С1Д1 - является прямоугольником.
Выше мы доказали, что А1В1 = С1Д1 = 5см., а В1С1 = Д1А1 = 2,5 см.
Значит периметр четырехугольника А1В1С1Д1
П = 5 + 2,5 + 5 + 2,5 = 15 см.
Площадь четырехугольника А1В1С1Д1
S = 5 × 2,5 = 12,5 см^2.
