4. Дані точки: А (0; 0), В (1; 3), C(4; 4). С D(3:1). Довести, що чотирикутник ABCD - ромб.

1) фотография. Попыталась как можно точнее написать.

2) Диагонали трапеции являются биссектрисами его углов, поэтому большая диагональ разделить угол в 60° на углы, равные 30° и 30° соответственно. Кроме того, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Тогда большая диагональ разделмт меньшую на отрезки, равные 6 см и 6 см.
Рассмотрим один из получившихся треугольников.
Он прямоугольный и катет, лежащий против угла в 30°, равен 6 см.
Тогда гипотенуза, которой является сторона трапеции, равна удвоенному катету, противолежащему углу в 30°, т.е. 2•6см = 12см.
. Вторая диагонаот по теореме Пифагора равна: 2•(√12² - 6²) = 2√108 = 12√3/ответ: 12 см, 12√3.

Если есть проблемы с отображением, смотрите снимок ответа, который приложен к нему.
====
Смотрите рисунок, приложенный к ответу.
Рассмотрим . Из условия ясно, что он — прямоугольный (так как ). — гипотенуза, — искомый катет,
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к прилежащему катету. То есть:
Отсюда:
Как видим, оба катета неизвестны. Но есть выход — теорема Пифагора. Покажем теорему Пифагора для данного треугольника:

Как мы выяснили чуть выше .
Заменяем и получаем:

Немного поколдуем:

Отсюда найдем :

Теперь напомню зачем нам нужно было

Подставляем вместо новую подстановку:

Отлично. В формуле для нахождения ответа не осталось ни одной неизвестной. Подставляем то, что есть в формуле. Из условия:

Найдем, наконец,


Это ответ.