Угол АВС = 150°. Найдите хорду, на которую опирается этот угол, если известно, что радиус окружности равен 0,5 см.
С рисунком

Пусть центр окружности будет О, и это точка пересечения диаметров. Треугольники АOD и  COE  равны - их  углы равны: при О - как вертикальные, а острые углы вписанные и опираются на равные дуги, ко всему эти треугольники еще и равнобедренные, и на основании  этого тоже углы равны. 
Треугольник АЕD - прямоугольный по условию. 
DE - катет, AD - гипотенуза.
Из доказанного выше равенства треугольников АD=CB=4, тогда
синус А= DE:AD=(√3):4
Острый угол DOВ между диаметрами - центральный угол, который опирается на ту же дугу, что угол DАЕ  
Следовательно,∠DOВ равен 2* ∠DAB
sin∠DAE=DE:AD=(√3):4
Синус DOB найдем по формуле =
sin 2α=2*sin(α)*cos(α)
Косинус α =АЕ:AD
АЕ из прямоугольного треугольника  AED по т.Пифагора 
АЕ=√(16-3)=√13
cos∠DAE=(√13):4
Тогда sin DOB=[2*(√3):4]*[(√13):4])= (√39):8=0,7806 
и ∠ DOB=arcsin 0,7806
--------------------------- 
Или:
Треугольник АDB - прямоугольный ( ADB опирается на диаметр АВ). 
DE в нем высота, квадрат которой равен произведению
DE²=АЕ*ВЕ
3=(√13)*ВЕ
ВЕ=3:√13
Тогда диаметр  равен АЕ+ВЕ=√13+3:√13=16:√13, а 
радиус ОВ=ОD=8:√13
Тогда синус DOB=DE:OD=(√3):(8:√13)= (√39):8=0,7806
и угол DOB=arcsin 0,7806 
По таблице синусов можно найти его градусную величину: 51°20'
---------------
И "на закуску" то, с чего можно было начать и остановиться на этом.
Ясно,  что найдя синус угла DAE, мы можем по таблице найти этот угол, а умножив на два  его значение, найти искомый угол DOE.
Итак, синус ∠DAE=(√3):4=0,4330.
По таблице синусов это синус угла 25° 40'. ⇒
∠ DOВ=2*25° 40'=51°20'
------
[email protected]

Рисунок - во вложении.

Т.к. E и F - внутренние точки отрезка АВ, и по условию АЕ=BF, то

для EB=AB-AE и для AF=AB-BF следует, что EB=AF.

Рассмотрим прямоугольные ΔADF и ΔВСЕ. У них: 1) АD=BC (противолежащие стороны прямоугольника); 2) AF=EB (по доказанному выше). Значит, ΔADF = ΔВСЕ по двум катетам.

Из равенства этих треугольников следует, что ∠DFA=∠СЕВ. Отсюда, ΔEGF - равнобедренный с основанием EF, тогда GF=GE. Доказан пункт Б).

Т.к. АВСD - прямоугольник, то АВ║CD. Тогда ∠EFG=∠GDC(как накрестлежащие при секущей FD) и ∠FEG=∠GCD (как накрестлежащие при секущей ЕС). Отсюда, ΔDGС - равнобедренный с основанием DC, тогда DG=GC. Доказан пункт A).