Цилиндр описан около прямой призмы, значит, основание цилиндра ограничено окружностью, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника - основания призмы, а его образующая равна высоте призмы (ее боковому ребру). Примем катеты треугольника в основании призмы равными а. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°, ⇒ гипотенуза равна а:sin45°=а√2.
Боковая поверхность прямой призмы равна произведению высоты на периметр основания. S=h•(2а+а√2)=h•a(2+√2) ⇒ катет a=S:h(2+√2). Гипотенуза равна {S:(h(2+√2)}•√2. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. R={S√2:(h(2+√2)}:2. После сокращения числителя и знаменателя на √2 получим R=S:2h(√2+1)
