Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб АВСD, сторона которого равна а и угол равен 60°. Плоскость АD1C1 составляет с плоскостью основания угол 60°.
(Здесь нужно заметить, что не диагональ боковой грани ВС1 составляет угол 60°, а перпендикуляр С1Н к АВ)
Найдите:
а) высоту ромба;
Данный ромб состоит из двух равносторонних треугольников с общей стороной СА.
Высота СН равностороннего треугольника АВС равна высоте ромба:
h=а*sin(60°)=а(√3):2
б) высоту параллелепипеда;
Параллелепипед прямой. Высотой является С1С, - она перпендикулярна плоскости ромба по условию - и с СН является катетом прямоугольного треугольника СС1Н с прямым углом при С.
С1С:СН=tg(60°)
C1C=tg(60°)*CH=√3*а(√3):2=3a/2=1,5a
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда:
Sбок=Р(ABCD)*H=4a*1,5a=6a²
г)площадь поверхности параллелепипеда:
Она состоит из суммы площадей 2-х оснований и боковой поверхности:
2S◊(ABCD)=2*a²*sin(60°)=2*0,5*a²√3=a²√3
S полн=6a²+a²√3=а²(6+√3)
По условию СС₁║DD₁. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, притом только одну. Отрезок СD лежит в этой плоскости, С₁D₁- проекция отрезка СD на плоскость β ⇒ С₁, Е₁ и D₁ лежат в на одной прямой.
Проведем через D параллельно C₁D₁ прямую до пересечения с продолжением СС₁ в т.С₂. Продолжим ЕЕ₁ до пересечения с DC₂ в точке Е₂. Прямые C₁C₂║E₁E₂║D₁D; C₂D₂║C₁D₁ ⇒ C₁C₂=E₁E₂=D₁D=√3. Домножив числитель и знаменатель значения СС₁ на √3, получим СС₁=2√3 Отрезок СС₂=СС₁+С₁С₂=2√3+√3=3√3 . Точка Е - середина CD, ЕЕ₂║СС2 ⇒ отрезок ЕЕ₂ - средняя линия треугольника СС₂D и равна половине СС₂. ЕЕ₂=3√3:2=1,5√3 Отсюда EE₁=ЕЕ₁-Е₁Е₁=1,5 √3-√3=0,5√3 или иначе ЕЕ₁=√3/2 см
