Построим сечение куба плоскостью проходящей через точки H (середина стороны DC), H1 (середина стороны D1C1) и M (середина отрезка CQ)
Соединим H с H1, продолжим отрезок HM до пересечения со стороной BC в точке K. Рассмотрев ΔBCD, видим, что отрезок HM проходит через середины стороны CD и высоты CQ, а следовательно KM является средней линией ΔBCD. Тогда K - середина стороны BC. Т.к. A1B1C1D1 || ABCD, то плоскость KHH1 пересекает их по параллельным прямым. Прямая параллельная KH и принадлежащая плоскости A1B1C1D1 и проходящая через точку H1 также будет средней линией K1H1, но в ΔC1B1D1.
Окончательно получаем в сечении прямоугольник KHH1K1.
Теперь построим сечение проходящее через точки Q, Q1 и D1
Проводим прямую через точки Q1 и D1 в плоскости A1B1C1D1 - это будет диагональ B1D1. Проводим прямую параллельную ей и принадлежащую плоскости ABCD и проходящую через точку Q - это будет диагональ BD. Окончательно получаем в сечении прямоугольник BDD1B1
BD || KH (KH - средняя линия ΔBCD)
BB1 || KK1 (KK1 - средняя линия квадрата BB1C1C)
BD пересекается с BB1 в точке B
KH пересекается с KK1 в точке K
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны ⇒ BDD1B1 || KHH1K1.
1. Рассмотрим треугольник АОС - равнобедренный (так как АО = ОС по условию), тогда углы ОАС = ОСА (по свойству равнобедренного треугольника)
2. Рассмотрим треугольники ADC и СЕА - прямоугольные. АС - их гипотенуза и общая сторона. Тогда эти треугольники раны по гипотенузе и острому углу.
3. Так как треугольник и равны, то и углы ВАС и ВСА равны. Следовательно, треугольник АВС - равнобедренный и из этого следует, что АВ = ВС.
ответ : что требовалось доказать.
(Замечание : в дальнейшем, чтобы тебе не тратить время, из этого доказательства следует, что если в треугольнике равны две высоты, то такой треугольник равнобедренный)
