Найдите площадь изображённого на рисунке

Если аб основание, тогда св боковая сторона, поскольку трапеция р/б, то св = ад = 10см, Проведём высоты из вершины тупых углов к большему основанию, обазначим их, как СМ и ДН. Получили два прямоугольных треугольника, которые равны по трём углам. Поскольку в р/б трапеции углы при основании равны, значит угол БСМ = углу АДН = 30градусам. АН и БМ из равенства треугольников равны. Также они лежат напротив угла в 30 градусов, соответсвенно равны 1/2 гипотенузы Т.е СВ, значит они равны 5 см. У нас остаётся отрезок МН = СД по свойству р/б трапеции. Поскоьку АБ=16, а АН и БМ 5 см, то НМ = СД = 6 см ответ: СД = 6 см

Точки пересечения линий a и b - M; a и c - K; b и c - P; 
Для треугольника МКР окружность 2 (центр О2, радиус r) - вписанная, а окружность 1 (центр О1, радиус ρ) - вневписанная (то есть касается стороны КР и продолжений сторон МК и МР). Площадь треугольника МКР обозначена S, площадь A1B1C1 - S1; площадь А2В2С2 - S2; R - радиус описанной вокруг МКР окружности. Углы треугольника МКР обозначены так α = угол КРM; β = угол PКМ;γ = угол КМР;
Очевидно, что ( :) ) угол А2О2В2 = угол А1О1В1 = 180° - γ; угол С1О1В1 = α; (оба угла составляют 180° в сумме с углом B1PC1... или, если хочется, стороны этих углов перпендикулярны попарно...) угол С2O2B2 = 180° - α; аналогично угол A1O1C1 = β; угол A2O2C2 = 180° - β;
Далее, площадь треугольника A2B2C2 равна сумме площадей треугольников O2A2B2; O2B2C2 и O2C2A2; отсюда S2 = (r^2/2)*sin(α) +  (r^2/2)*sin(β) + (r^2/2)*sin(γ) = r^2*(sin(α) +  sin(β) + sin(γ))/2;
Площадь треугольника A1B1C1 равна сумме площадей треугольников O1B1C1 и O1C1A1 минус площадь треугольника O1A1B1; отсюда S1 = (ρ^2/2)*sin(α) +  (ρ^2/2)*sin(β) - (ρ^2/2)*sin(γ) = ρ^2*(sin(α) +  sin(β) - sin(γ))/2;
(Примечание: не стоит забывать, что sin(Ф) = sin(180° - Ф) :) )
По теореме синусов, КР = 2*R*sin(γ); MP = 2*R*sin(β); MK = 2*R*sin(α);
Если обозначить p - полупериметр MKP, то 
sin(α) +  sin(β) + sin(γ) = p/R; sin(α) +  sin(β) - sin(γ) = (p - KP)/R;
Поскольку S = p*r = (p - KP)*ρ; (а вот должны знать :)) то 
sin(α) +  sin(β) + sin(γ) = S/(r*R); sin(α) +  sin(β) - sin(γ) = S/(ρ*R);
и получается окончательно
S1 = (ρ^2/2)*S/(ρ*R) = S*ρ/(2*R); S2 = S*r/(2*R); и S2/S1 = r/ρ; чтд.