Для того, чтобы четырехугольник мог быть вписан в окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны. Обозначим 1 часть за x, тогда:
1). Стороны четырехугольника равны 7x, 3x, 2x, 6x в порядке следования, а суммы противоположных сторон равны:
7x+2x=3x+6x => 9x=9x, верно, значит такой четырехугольник может быть вписан в окружность.
2). Стороны четырехугольника равны 5x, 4x, 3x, 6x в порядке следования, а суммы противоположных сторон равны:
5x+3x=4x+6x => 8x≠10x, неверно, значит такой четырехугольник не может быть вписан в окружность.
ответ: 1). Да, может; 2). Нет, не может.
Заметим, что
CHB = 180o- BAC = 180o-60o = 120o.
Пусть CC1 и BB1 — высоты треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников CC1B и BB1C находим, что
BCH = 90o- ABC = 90o-50o = 40o, CBH = CBB1=90o-70o=20o.
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC , поэтому
COB = 2 BAC = 2· 60o = 120o, OCB= OBC = 30o,
значит,
OCH = BCH - BCO = 40o- 30o = 10o.
Из точек H и O , лежащих по одну сторону от прямой BC , отрезок BC виден под одним и тем же углом ( 120o ), значит, точки B , O , H и C лежат на одной окружности. Следовательно,
COH = CBH = 90o- 70o= 20o,
CHO = 180o - OCH - COH = 180o-10o-20o=150o.
