Хорди АВ і AD кола перетинаються в точці Е, яка поділяє хорду АВ на відрізки завдовжки 4 см і 9 см. На які відрізки поділяє точка Е хорду СD, якщо один з них у 4 рази менший від другого

У ромба все стороны равны, диаганоли схрещиваются перпендикулярно и делят друг друга пополам, из-за чего он делится на 4 прямоугольных треугольника, где половинки этих диагоналей - катеты. Так как эти диагонали равны, то и катеты у всех треугольников равны. Из этого имеем, что треугольники равнобедренные, а значит углы при их основе равны между собой и равняются 45°. Так как диагонали ромба делят его углы напополам, то все его углы равны 45° + 45° = 90°. То есть, мы имеем четырехугольник, у которого все стороны равны, а все углы равняются 90°. Значит это квадрат.

Пусть в параллелограмме ABCD E - середина AB, F - середина CD. В четырехугольнике AEFD стороны AE и FD равны и параллельны (равны половинам сторон AB и CD, которые также параллельны), значит, это параллелограмм и другая пара сторон также равна между собой. Таким образом, AD=EF. Так как в ABCD три стороны равны, то равны какие-то две соседние стороны, откуда следует, что все стороны параллелограмма равны, и любая из них равна четверти периметра. Так как отрезок EF также равен стороне, он также равен четверти периметра ABCD, что и требовалось.