1) Пусть имеем ΔABC
AB=4
BC=5
AC=6
Косинусы углов треугольника находим по теореме косинусов
a^2=b^2+c^2-2*b*c*cos(A)
25=36+16-2*6*4*cos(A) => cos(A)=9/16
36=25+16-2*5*4*cos(B) => cos(B)=1/8
16=25+36-2*5*6*cos(C) => cos(C)=3/4
Медиану находим по формуле
Mb=(1/2)*sqrt(2*(a^2+c^2)-b^2)
Mb=0,5*sqrt(2*(25+16)-36)=sqrt(46)/2=3,39
Биссектрису находим по формуле
Bb=(2/(a+c)*)sqrt(a*c*p*(p-1)
p=0,5*(a+b+c)
p=0,5*(4+5+6)=7,5
Bb=(2/(5+4))*sqrt(4*5*7,5*(7,5-1))=(2/9)*sqrt(975)=6,94
Высоту находим по формуле
Hb=2*sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))/b
Hb=2*sqrt(7,5*1,5*2,5*3,5))/2=3,31
2) C=180-(60+45)=75 - третий угол треугольника
Для нахождния сторон используем теорему синусов
b/sin(B)=a/sin(A)
a=b*sin(A)/sin(B) = 6*sin(60)/sin(45)=6*(sqrt(3)/2)*(1/sqrt(2)=3,67
c=b*SIN(b)/sin(C) =6*sin(75)/sin(45)=6*0,97/0,71=8,2
3)Находим сторону треугольника
R=a/sqrt(3) => a=R*sqrt(3)=4sqrt(3)
Находим радиус окружности описанной вокруг квадрата
R=a/sqrt(2) => a=R*sqrt(2)=4sqrt(3)*sqrt(2)=4*sqrt(6)
Профессорская задачка :)
1. Вс задача. В произвольном треугольнике две прямые, выходящие из разных вершин, делятся в точке пересечения в отношении 2:1 и 1:1. Нужно найти, в каком отношении они делят стороны. На самом деле, для заданной задачи достаточно найти, в каком отношении делится сторона, к которой проведена та прямая, которая длится в отношении 2:1. На первом рисунке - простое решение этой задачи. (Не надо путать обозначения тут и при решении основной задачи).
Задано ВК/KN = 1; AK/KM = 2; надо найти BM/BC.
Проводится PM II AC, треугольники PKM и AKN подобны, и PK/KN = KM/AK = 1/2; но КN = BN/2, то есть PN = BN/4; тогда и BP = BN/4; а отсюда BM = BC/4;
2. Собственно решение. Я изменил обозначение точки пересечения медиан трегольника АВС на букву G. O - центр описанной окружности, Н - ортоцентр. Точка Р пересечения биссектрисы угла А и GН делит GН пополам.
Поскольку АР - биссектриса угла А, то её точка пересечения с окружностью N делит дугу ВС пополам, то есть совпадает с точкой пересечения перпендикуляра к ВС из центра О.
Легко увидеть, что угол DNA между биссектрисой и этим диаметром, обозначенный как α, равен (угол АСВ - угол АВС)/2 (проще всего это понять, если провести через А хорду АА1 II ВС, тогда дуга ВА1 = дуга АС, и угол А1NA = угол А1СА, а DN биссектриса угла A1NA), то есть α = 15°;
Теперь самое главное. Точки O, G и Н лежат на прямой Эйлера, и OG = GH/2; Отсюда следует, что OG = GP = PH; кроме того, точка G делит АК в отношении AG/GK = 2 (ну, это же медиана тр-ка АВС...)
Согласно вс задаче из треугольника AON получается OK = ON/4; то есть расстояние от О до хорды ВС равно четверти радиуса окружности. Отсюда легко найти радиус R описанной окружности. R^2 = 1^2 + (R/4)^2; R = 4/√15;
Для того, чтобы найти площадь, нужно найти АМ. Центральный угол DOA равен 2α = 30°; и равен углу ОАМ, откуда сразу видно, что АМ = ОК + АО*cos(2α) = R*(1/4 + cos(2α)) = R(1/4 + √3/2);
S = ВС*АМ/2 = (4/√15)*(1 + 2√3)/8 = (1 + 2√3)/(2√15);
Я, конечно, мог и ошибиться в арифметике, так что проверяйте, но смысл решения понятен :)
