У октаэдра 8 граней - равносторонних треугольников.
Площадь полной поверхности правильного октаэдра с длиной ребра a равна S = 8*(a²√3/4) = 2√3a².
Приравняем заданному значению: 18√3 = 2√3a², a² = 9, а = 3.
Нашли длину ребра: а = 3.
Объем равен удвоенному объему правильной четырехугольной пирамиды . Основанием пирамиды является квадрат со стороной a, а высота пирамиды равна длине отрезка AO.
АО = √(a² - (a√2/2)²) = √(a² - (2a²/4)) = a/√2.
Объём V = 2*((1/3)*a²*(a/√2)) = a³√2/3.
Подставим а = 3.
Тогда V = 3³√2/3 = 9√2.
Ромб ABCD, точка пересечения диагоналей О, К - точка на стороне АВ.
АК=2
ВК=8
1- рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. У него АВ=10см (т.к. АК+ВК=2+8=10). А катеты АО и ВО примем АО=х, ВО= у
2- из теоремы пифагора (квадрат гипотенузы (АВ^2) равен сумме квадратов катетов (АО^2+ВО^2)) ( X)^2 означает X в квадрате
т.е. АВ^2=AO^2+BO^2. подставим нашу замену получим 10^2=x^2+y^2, 100=x^2+y^2
3- рассмотрим прямоугольный треугольник AOK. Его стороны это АК=2, ОК и АО=x
в нем тоже по теореме пифагора получаем: AO^2=AK^2+OK^2, подставим значения получим x^2 = 2^2 + OK^2 x^2 = 4 + OK^2
4- рассмотрим прямоугольный треугольник BOK. Его стороны это BК=8, ОК и BО=y
в нем тоже по теореме пифагора получаем: BO^2=BK^2+OK^2, подставим значения получим y^2 = 8^2 + OK^2 y^2 =64 + OK^2
Рассмотрим уравнения из пункта 3 и 4
x^2 = 4 + OK^2
y^2 =64 + OK^2
Выразим из каждого OK^2, получим
OK^2=x^2-4
OK^2=y^2-64
получаем
x^2-4=y^2-64
x^2=y^2-60
Решим теперь систему уравнений
x^2=y^2-60
100=x^2+y^2 (уравнение из пункта 2)
Подставим полученное x^2 в уравнение из пункта 1, получим систему
x^2=y^2-60
100=y^2-60+y^2
x^2=y^2-60
2*y^2=160
x^2=y^2-60
y^2=80
Теперь подставим y^2=80 в первое уравнение системы, получим систему
x^2=80-60
y^2=80
x^2=20
y^2=80
__
x=2 V 5 (два корня из пяти)
__
y=4 V 5 (четыре корня из пяти)
ответ: __ __ __ __
Диагонали ромба это АС=2*x = 2*2 V 5 = 4V 5 и BD=2*y= 2*4 V 5 = 8 V 5
