Найдите площадь треугольника, если известно, что радиус вписанной окружности равен 1, а длины всех трех высот выражаются целыми числами.

Из условия следует что треугольник правильный ! 
Доказательство : 
так как площадь треугольника можно выразить через высоты как 
  
где  стороны  треугольника , с другой стороны 
следовательно 

а площадь правильного треугольника равна  

Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
т.к. r=1
S=3√3·r²=3√3,
 а все высоты выражаются ОДНИМ целым числом h= 3