Через точки а и в, которые лежат на окружностях верхней и нижней основ цилиндра и не принадлежат одной образующей, проведено площадь параллельно оси цилиндра. расстояние от центра нижнего основания до этой площади равняется 2 см, а площадь образованного сечения - см2. найти длину отрезка ав, если площадь боковой поверхности цилиндра равняется см2. (если можно, , рисунок нарисуйте)

АВ = 18 см.

Радиус основания обозначим за х. Образующую цилиндра за у.
Тогда хорда окружности основания, по которой его пересекает плоскость сечения, равна 2*√(х^2 - 4) - как основание равнобедренного треугольника с высотой, равной 2.
Площадь сечения равна 2*у*√(х^2 - 4) = 60√2 (первое уравнение).
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2*π*х*у = 20√30 π (второе уравнение).
Объединяя два уравнения в систему и решая ее, получаем:
х - радиус основания - равен √10
у - длина образующей цилиндра - равна 10√3

Хорда окружности основания - прямая пересечения плоскости сечения и основания цилиндра - равна 2*√((√10)^2 - 4) = 2√6.
Отрезок АВ - диагональ прямоугольника сечения со сторонами 2√6 и 10√3 - (согласно теореме Пифагора) равна √324 = 18 см.
ответ: 18 см.

Сечение цилиндра, параллельное оси - прямоугольник.
Пусть сторона сечения, лежащая в основании, будет СВ,
а диаметр основания - СД.
Тогда треугольник СВД  - прямоугольный ( угол СВД опирается на диаметр).   Расстояние от центра основания до плоскости сечения - отрезок ОМ - средняя линия этого треугольника. ⇒
ВД=2*2=4
Сторона сечения СВ по т.Пифагора равна √(СД²-ВД²)= √(D²-16)
Высота цилиндра АС равна площади сечения, деленной на СВ
АС=60√2): √(D²-16)
Из площади боковой поверхности
Из площади боковой поверхности S=πDH=20π √30
H=20π √30):π D
АС=(20π √30):πD=(20√ 30):D
Приравняем  значения:
АС 60√2): √(D²-16)=(20√30):D
60√2)D= √(D²-16)*(20√30)
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:
7200 D² =12000 D² -12000*16
12000*16=4800 D²
D²=40
СВ =√(40-16)=√24 см
AC=60√2):√24
AC=30:√3 см
АВ²=АС² +СВ² 
АВ²=300 +24 =324
АВ=18 см
-----
[email protected]