В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла A до пересечения со стороной BC в точке K. Отрезок AK=8 см, угол между диагоналями прямоугольника равен 30°. Найдите стороны и площадь прямоугольника ABCD.
Обозначим точку пересечения диагоналей О.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
∆АОВ и ∆COD - равнобедренные, углы при АВ и CD равны по (180°-30°):2=75°⇒
в ∆ АВС ∠BСA=90°-75°=15°
∆ АВК - прямоугольный с острым углом ВАК=45°⇒
∠ВКА=45° ⇒ ∆ АВК равнобедренный.
АВ=АК*sin45°=(8*√2)/2=4√2 см
В ∆ АВС по т.синусов
АВ:sin15°=BC:sin75°
По таблице синусов
sin 15° =0,2588
sin75°=0,9659
4√2:0,2588=ВС:0,9659⇒
ВС=21,1127 см
S=AB•ВС=4√2•21,1127≈ 119,426 см²
------
Как вариант:
Найти из прямоугольного ∆ АВС диагональ АС:
АС=АВ:sin 15º=(4√2):0,2588
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
S=0,5•d₁•d₂•sinφ , где
d₁ и d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними/
Тогда S=0,5•{4√2):0,2588}²•0,5=≈ 119,426 см²
Це завдання потребує теорії кола та геометричних властивостей.
Спершу з'ясуємо, що таке коло. Коло - це множина точок на площині, рівновіддалених від заданої точки, називаної центром кола. Радіус кола - це відстань від центру до будь-якої точки на колі.
Також маємо знати, що дотична до кола - це пряма, яка зустрічається з колом лише у одній точці. Ця точка називається точкою дотику.
Завдання стверджує, що коло дотикається до осей та прямої х=-4. Це означає, що центр кола має координати (4, к) (припустимо, що к - координата точки дотику з осі у).
За визначенням, відстань від центру кола до точки дотику дорівнює радіусу кола. Тому ми можемо скласти рівняння вписаного кола:
(x-4)^2 + (y-к)^2 = r^2
Далі, ми знаємо, що коло дотикається до прямої х=-4. Це означає, що центр кола знаходиться на відстані r від прямої, а саме на відстані r від точки (-4, к). Також знаємо, що відстань від точки до прямої дорівнює відстані від точки до проекції на пряму. Тому ми можемо скласти рівняння для відстані між центром кола та прямою:
|r - (-4)| = |к - у|
Оскільки коло дотикається до обох осей, то його радіус дорівнює відстані від центру до будь-якої з осей. Оскільки осі перпендикулярні, то це значення дорівнює к. Тому ми маємо ще одне рівняння:
r = к
Тепер ми можемо об'єднати всі рівняння в одне для знаходження рівняння кола, що дотикається осей та прямої х=-4:
(x-4)^2 + (y-к)^2 = к^2
|r - (-4)| = |к - у|
r = к
Отже, ми отримали рівняння кола, що дотикається осей та прямої х=-4.
