На окружности с центром в точке о выбраны точки м и n. вторая окружность вдвое меньшего радиуса касается первой в точке м и делит пополам отрезок on. найдите угол onm.

Касание окружностей внутреннее, т.к. при внешнем меньшая окружность не перечёт ОN. 
ON=R=2r по условию
ОК=КN=r
ОК=ТК=ОТ=r ⇒ 
Δ ОТК- правильный, ⇒ все углы в нем равны 60º.
Треугольник MON  образован двумя радиусами и хордой, он равнобедренный, угол  MON=60ª ⇒ 
∠ONM=∠MON=(180º-60º):2=60º