Вконус с углом φ при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписана сфера радиуса r (т. е. сфера касается основания конуса и каждой его образующей, рис. 158, а). найдите: а) r, если известны r и φ; б) r, если известны r и φ; , расписывая досконально до мелочей

а) r = R · ctg(45° - φ/4)

б) R = r · tg(45° - φ/4)

Объяснение:

ΔABC - осевое сечение конуса, вписанная в него окружность - сечение сферы, проходящее через центр.

ΔАВС равнобедренный, значит

∠С = ∠А = (180° - φ)/2 = 90° - φ/2

Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис, значит СО - биссектриса ∠АСВ, ⇒

∠ОСН = 1/2 ∠С = 1/2 (90° - φ/2) = 45° - φ/4

Рассмотрим треугольник ОСН:

∠ОНС = 90°,

tg∠OCH = R / r

а) r = R / tg(45° - φ/4) = R · ctg(45° - φ/4)

б) R = r · tg(45° - φ/4)