Существует вписанный четырехугольник с отношением мер углов 1: 2: 4: 3

Да.
у вписанного сумма противоположных углов равна.
 противоположные углы - 1 и 4 единицы- в сумме = 5 единиц.
                                        2  и 3 единицы -в сумме = 5 единиц

Найдём углы четырехугольника. пусть к - коэффициент пропорциональности, тогда: к° - один угол; 2к° - второй угол; 4к° - третий угол; 3 к° - четвёртый угол. сумма углов четырехугольника равна 180(n-2)=180(4-2)=360°; к+2к+4к+3к=360; к=36° один угол; 2*36=72° второй угол; 4*36=144° третий угол; 3*36=108° четвёртый угол; Четырехугольник можно вписать в окружность только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°; В нашем случае: 36+144=180°; 72+108=180°; ответ: существует