Впрямоугольном треугольнике abc проведена высота cd на гипотенузу. расстояние от точки d до сторон ac и dc соответственно равны m и n. найдите площадь треугольника

Смотри рисунок. Там сделали обозначения.
Ну и теперь одно из возможных решений.

из прямоугольных треугольников АСД и ВСД имеем
m²=an      a=m²/n
n²=bm      b=n²/m

площадь треугольника АВС

S= (АС*ВС)/2
S=(a+n)*(b+m)/2
подставляя  а и  b    и приводя к общему знаменателю, получаем

S=(m²+n²)² /(2mn)