Гіпотенуза прямокутного трикутника 25 см а висота опущена на неї 12 см знайти суму катетів

Дано:
Δ АСВ ; ∠С= 90°
АВ= 25 см
СН = 12 см  - высота
Найти :   (АС +СВ ) - ?
Решение №1 (по теореме Пифагора):
СН⊥АВ  ⇒  ∠СНА= ∠СНВ = 90°
ΔАНС : 
АС² = АН² +СН²
АН = х см
АС² = х² + 12²   
ΔСНВ :
СВ²= НВ² +СН²
НВ = (25 -х) см
СВ² = (25-х)²  + 12²
ΔАСВ :
АВ² = АС² + СВ²
25² = х² + 12²  + (25-х)² + 12²
625 = х² + 144 + 25² - 2*25*х  + х²  + 144
625 = 2х²  -50х  + 288  + 625 
2х²  - 50х  + 288  + 625  - 625  = 0
2(х² - 25х + 144)  = 0       |÷2
x²  - 25x + 144 = 0
D = (-25)²  - 4*1*144 = 625 - 576=49=7²
D>0  два корня уравнения
х₁ =  (25-7)/(2*1) = 18/2 = 9 (см)   
х₂ = (25+7)/ (2*1) = 32/2 = 16 (см) 
АН = 9 см  ; НВ = 16 см   (или наоборот)
АС² = 9²  + 12²    ⇒ АС = √(81 + 144)  = √225 = 15 (см) один катет
СВ² = 16²  + 12²   ⇒ СВ= √(256+144) = √400 = 20 (см) второй катет
АС +СВ = 15 + 20 =  35 (см) сумма катетов

Решение 2.
Высота из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное между отрезками, на которую делится гипотенуза этой высотой:
СН = √(АН*НВ)
АН= х  см
НВ = (25-х) см
12 = √ (х(25-х) )
(12²) = ( √(х(25-х) ) ² 
144 = х(25-х)
144 = 25х  - х²
144 + х²  - 25х = 0
х² - 25х + 144 = 0
x²  - 9x   - 16x + 144 = 0
x(x-9)  - 16(x-9) = 0
(х-9) (x-16)=0
произведение = 0 , если один из множителей = 0
x - 9 = 0   ⇒  x₁ = 9   ⇒ АН = 9  см  
x - 16 = 0 ⇒  x₂  = 16 ⇒ НВ  = 16  см
По теореме Пифагора:
ΔАНС :  АС =√(  9² + 12² ) = √225 = 15 (см)
ΔВНС :  СВ= √(16² +12²) = √400 = 20 (см)
АС +СВ =  15 + 20 = 35 (см)

Решение 3.
Формула длины высоты через стороны:
Н= ab/c , где а,b  - катеты ; с - гипотенуза
c= 25  см ; Н = 12 см , подставляем в формулу :
12 = ab/25
ab= 25*12
ab=300      ⇒ b= 300/a
По теореме Пифагора:
a²  + (300/a)²  = 25²
(a⁴  + 300²) / a²  = 25²
a⁴  - 625a²  + 300² =0
a⁴  -  225a²  -  400a²  + 90000 = 0
a²(a²-225)  - 400(a² - 225) = 0
(a² - 225)(a²  - 400) = 0
(a²  - 15²)(a²  - 20²) = 0 
(a-15)(a+15)(a-20)(a+20) = 0
a₁ = 15 (см) один катет
a₂ =  - 15   не удовл. условию
а₃ = 20 (см) другой катет
а₄ =  - 20   не удовл. условию
а₁ + а₃  =  15 + 20 = 35 (см) сумма катетов

ответ:  35 см  сумма катетов .